曲线L: =dfrac {y-1)(10)=dfrac (z-1)(0)-|||-D. dfrac (x-1)(-10)=dfrac (y-1)(10)=dfrac (z-1)(0)

步骤 1：确定平面和曲面的法向量
给定的曲线L是平面$x+y+3z=5$和曲面${x}^{2}+{y}^{2}-2{z}^{2}=0$的交线。首先，我们需要确定这两个曲面在点P(1,1,1)处的法向量。
- 平面$x+y+3z=5$的法向量为$\overrightarrow{n}=(1,1,3)$。
- 曲面${x}^{2}+{y}^{2}-2{z}^{2}=0$的法向量为$\overrightarrow{n_1}=(2x,2y,-4z)$。在点P(1,1,1)处，$\overrightarrow{n_1}=(2,2,-4)$。

步骤 2：计算曲线L在点P处的切线方向
曲线L在点P处的切线方向是平面和曲面法向量的叉积。即$\overrightarrow{t}=\overrightarrow{n}\times\overrightarrow{n_1}$。
- $\overrightarrow{t}=(1,1,3)\times(2,2,-4)$
- $\overrightarrow{t}=(1\times(-4)-3\times2,3\times2-1\times(-4),1\times2-1\times2)$
- $\overrightarrow{t}=(-10,10,0)$

步骤 3：写出切线方程
切线方程为$\dfrac{x-1}{-10}=\dfrac{y-1}{10}=\dfrac{z-1}{0}$，其中(1,1,1)是切点，(-10,10,0)是切线方向。