题目

设A,B是随机事件，且P(A|B)=0，则以下命题中正确的是（） A A.,B互不相容 B P(B.|overline(A))=0 C. P(A)=0或P(B)=0 D. A,B可以不互斥

设A,B是随机事件，且P(A|B)=0，则以下命题中正确的是（） A
A.,B互不相容 B P(
B.|$\overline{A}$)=0
C. P(A)=0或P(B)=0
D. A,B可以不互斥

题目解答

答案

由题意 $P(A|B) = 0$，根据条件概率公式 $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$（$P(B) > 0$），可得 $P(AB) = 0$。选项分析： - **A. A与B互不相容**：$P(AB) = 0$ 不一定意味着 $A$ 和 $B$ 互不相容（如连续型随机变量中单点概率为0），故不正确。 - **B. $P(B|\overline{A}) = 0$**：$P(B|\overline{A}) = \frac{P(B \cap \overline{A})}{P(\overline{A})}$，仅当 $P(B) = 0$ 时成立，故不正确。 - **C. $P(A) = 0$ 或 $P(B) = 0$**：$P(AB) = 0$ 不一定推出 $P(A) = 0$ 或 $P(B) = 0$（如独立事件 $P(A) > 0$，$P(B) > 0$ 但 $P(AB) = 0$），故不正确。 - **D. A与B可以不互斥**：$P(AB) = 0$ 时，$A$ 和 $B$ 可以有交集（如 $A \subseteq B$ 且 $P(A) = 0$），故正确。 **答案：** $\boxed{D}$

解析

考查要点：本题主要考查条件概率的性质及事件间的关系，重点在于理解条件概率为零的含义及其对事件间关系的影响。

解题核心思路：

条件概率公式：由 $P(A|B) = 0$ 出发，结合公式 $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$（$P(B) > 0$），推导出 $P(AB) = 0$。
事件关系分析：明确 $P(AB) = 0$ 的含义，即事件 $A$ 和 $B$ 的交集概率为零，但不必然导致互斥（如连续型分布中单点概率为零）。
选项逐一排除：通过反例分析各选项是否必然成立。

破题关键点：

区分“概率为零”与“不可能事件”：概率为零的事件不一定是不可能事件。
独立事件的可能性：即使 $P(AB) = 0$，$A$ 和 $B$ 仍可能非互斥（如 $A$ 的概率为零但包含于 $B$ 中）。

已知条件：$P(A|B) = 0$，根据条件概率公式：
$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)$
可得 $P(AB) = 0$。

选项分析：

选项A：$A$ 与 $B$ 互不相容
- 错误。$P(AB) = 0$ 仅说明交集概率为零，但并非不可能事件。例如，在均匀分布 $[0,1]$ 中，$A = \{0.5\}$，$B = [0,0.6]$，此时 $P(AB) = 0$，但 $A$ 和 $B$ 有交集，故不互斥。
选项B：$P(B|\overline{A}) = 0$
- 错误。计算 $P(B|\overline{A}) = \frac{P(B \cap \overline{A})}{P(\overline{A})}$。已知 $P(AB) = 0$，但 $P(B \cap \overline{A}) = P(B) - P(AB) = P(B)$，若 $P(B) > 0$，则 $P(B|\overline{A}) = \frac{P(B)}{P(\overline{A})}$，不为零。
选项C：$P(A) = 0$ 或 $P(B) = 0$
- 错误。反例：设 $A$ 和 $B$ 独立，且 $P(A) = 0.5$，$P(B) = 0.5$，则 $P(AB) = 0.25 \neq 0$，但若调整参数使 $P(AB) = 0$（如 $A$ 的概率为零但包含于 $B$ 中），则 $P(A) = 0$ 而 $P(B) > 0$，此时 $P(AB) = 0$，但选项C的条件不成立。
选项D：$A$ 与 $B$ 可以不互斥
- 正确。若 $A \subseteq B$ 且 $P(A) = 0$，则 $P(AB) = P(A) = 0$，但 $A$ 和 $B$ 有交集（$A \neq \emptyset$），故不互斥。