4、设f(x)是连续函数，且F(x)=int_(x)^e^(-x)f(t)dt，则F'(x)等于（）A. -e^-xf(e^-x)-f(x)B. -e^-xf(e^-x)+f(x)C. e^-xf(e^-x)-f(x)D. e^-xf(e^-x)+f(x)

本题考查变上限积分求导的知识。解题思路是利用变上限积分求导公式以及复合函数求导法则来求解$F^\prime(x)$。

已知$F(x)=\int_{x}^{e^{-x}}f(t)dt$，根据定积分的性质可将其拆分为$F(x)=\int_{x}^{a}f(t)dt+\int_{a}^{e^{-x}}f(t)dt$（$a$为常数），进一步变形为$F(x)=-\int_{a}^{x}f(t)dt+\int_{a}^{e^{-x}}f(t)dt$。

1. 先对$-\int_{a}^{x}f(t)dt$求导：
   根据变上限积分求导公式，若$G(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$，则$G^\prime(x)=f(x)$。
   所以$(-\int_{a}^{x}f(t)dt)^\prime=-f(x)$。

2. 再对$\int_{a}^{e^{-x}}f(t)dt$求导：
   令$u = e^{-x}$，则$\int_{a}^{e^{-x}}f(t)dt$可看作是由$y = \int_{a}^{u}f(t)dt$与$u = e^{-x}$复合而成的函数。
   根据复合函数求导法则$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$。

   • 对$y = \int_{a}^{u}f(t)dt$关于$u$求导，由变上限积分求导公式可得$\frac{dy}{du}=f(u)$。
   • 对$u = e^{-x}$关于$x$求导，根据求导公式$(e^{ax})^\prime = ae^{ax}$，可得$\frac{du}{dx}=-e^{-x}$。
   • 所以$(\int_{a}^{e^{-x}}f(t)dt)^\prime=f(u)\cdot(-e^{-x})$，将$u = e^{-x}$代回，得到$(\int_{a}^{e^{-x}}f(t)dt)^\prime=-e^{-x}f(e^{-x})$。

3. 最后求$F^\prime(x)$：
   $F^\prime(x)=(-\int_{a}^{x}f(t)dt)^\prime+(\int_{a}^{e^{-x}}f(t)dt)^\prime=-f(x)-e^{-x}f(e^{-x})$。