题目
利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积:-|||-(3)圆 ^2+(y)^2=2ax
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定圆的参数方程
给定圆的方程为 ${x}^{2}+{y}^{2}=2ax$，可以将其重写为 ${(x-a)}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$。这表明圆心位于 $(a,0)$，半径为 $a$。圆的参数方程可以表示为 $x=a+a\cos t$ 和 $y=a\sin t$，其中 $t$ 从 $0$ 变到 $2\pi$。
步骤 2：应用曲线积分公式计算面积
根据曲线积分计算面积的公式，面积 $A$ 可以表示为 $A=\dfrac {1}{2}{\int }_{C}x dy - y dx$，其中 $C$ 是曲线的正向闭合路径。将参数方程代入公式中，得到 $A=\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{2\pi }[ (a+a\cos t)a\cos t-a\sin t(-a\sin t)] dt$。
步骤 3：计算积分并求得面积
将参数方程代入公式后，积分变为 $A=\dfrac {{a}^{2}}{2}{\int }_{0}^{2\pi }(1+\cos t)dt$。计算积分，得到 $A=\dfrac {{a}^{2}}{2} [t+\sin t]_{0}^{2\pi} = \dfrac {{a}^{2}}{2} [2\pi + 0 - 0] = \pi {a}^{2}$。
给定圆的方程为 ${x}^{2}+{y}^{2}=2ax$，可以将其重写为 ${(x-a)}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$。这表明圆心位于 $(a,0)$，半径为 $a$。圆的参数方程可以表示为 $x=a+a\cos t$ 和 $y=a\sin t$，其中 $t$ 从 $0$ 变到 $2\pi$。
步骤 2：应用曲线积分公式计算面积
根据曲线积分计算面积的公式，面积 $A$ 可以表示为 $A=\dfrac {1}{2}{\int }_{C}x dy - y dx$，其中 $C$ 是曲线的正向闭合路径。将参数方程代入公式中，得到 $A=\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{2\pi }[ (a+a\cos t)a\cos t-a\sin t(-a\sin t)] dt$。
步骤 3：计算积分并求得面积
将参数方程代入公式后，积分变为 $A=\dfrac {{a}^{2}}{2}{\int }_{0}^{2\pi }(1+\cos t)dt$。计算积分，得到 $A=\dfrac {{a}^{2}}{2} [t+\sin t]_{0}^{2\pi} = \dfrac {{a}^{2}}{2} [2\pi + 0 - 0] = \pi {a}^{2}$。