题目
20.设}(2-lambda)x_(1)+2x_(2)-2x_(3)=1,2x_(1)+(5-lambda)x_(2)-4x_(3)=2,-2x_(1)-4x_(2)+(5-lambda)x_(3)=-lambda-1,问λ为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无限多解？并在有无限多解时求其通解.
20.设
$\begin{cases}(2-\lambda)x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=1,\\2x_{1}+(5-\lambda)x_{2}-4x_{3}=2,\\-2x_{1}-4x_{2}+(5-\lambda)x_{3}=-\lambda-1,\end{cases}$
问λ为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无限多解？并在有无限多解时求其通解.
题目解答
答案
计算系数矩阵 $A$ 的行列式：
\[
|A| = -(\lambda - 1)^2(\lambda - 10)
\]
**解的情况：**
1. **唯一解：**
$|A| \neq 0$，即 $\lambda \neq 1$ 且 $\lambda \neq 10$。
2. **无解：**
$\lambda = 10$ 时，增广矩阵化简后出现矛盾行，无解。
3. **无穷多解：**
$\lambda = 1$ 时，秩 $R(A) = R(B) = 1$，有无穷多解。通解为：
\[
\boxed{
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
+ c_1
\begin{pmatrix}
-2 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
+ c_2
\begin{pmatrix}
2 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
}
\]
其中，$c_1, c_2$ 为任意常数。
解析
步骤 1：计算系数矩阵的行列式
首先，我们计算系数矩阵 $A$ 的行列式。系数矩阵 $A$ 为：
\[ A = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 2 & -2 \\ 2 & 5-\lambda & -4 \\ -2 & -4 & 5-\lambda \end{pmatrix} \]
计算行列式 $|A|$：
\[ |A| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 2 & -2 \\ 2 & 5-\lambda & -4 \\ -2 & -4 & 5-\lambda \end{vmatrix} \]
\[ = (2-\lambda) \begin{vmatrix} 5-\lambda & -4 \\ -4 & 5-\lambda \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ -2 & 5-\lambda \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 5-\lambda \\ -2 & -4 \end{vmatrix} \]
\[ = (2-\lambda) \left( (5-\lambda)^2 - 16 \right) - 2 \left( 2(5-\lambda) - 8 \right) - 2 \left( -8 - 2(5-\lambda) \right) \]
\[ = (2-\lambda) \left( 25 - 10\lambda + \lambda^2 - 16 \right) - 2 \left( 10 - 2\lambda - 8 \right) - 2 \left( -8 - 10 + 2\lambda \right) \]
\[ = (2-\lambda) \left( \lambda^2 - 10\lambda + 9 \right) - 2 \left( 2 - 2\lambda \right) - 2 \left( -18 + 2\lambda \right) \]
\[ = (2-\lambda) \left( \lambda^2 - 10\lambda + 9 \right) - 4 + 4\lambda + 36 - 4\lambda \]
\[ = (2-\lambda) \left( \lambda^2 - 10\lambda + 9 \right) + 32 \]
\[ = (2-\lambda) \left( \lambda^2 - 10\lambda + 9 \right) + 32 \]
\[ = (2-\lambda) \left( \lambda^2 - 10\lambda + 9 \right) + 32 \]
\[ = -(\lambda - 1)^2(\lambda - 10) \]
步骤 2：确定方程组解的情况
1. **唯一解：** 当 $|A| \neq 0$，即 $\lambda \neq 1$ 且 $\lambda \neq 10$ 时，方程组有唯一解。
2. **无解：** 当 $\lambda = 10$ 时，增广矩阵化简后出现矛盾行，方程组无解。
3. **无穷多解：** 当 $\lambda = 1$ 时，秩 $R(A) = R(B) = 1$，方程组有无穷多解。
步骤 3：求无穷多解时的通解
当 $\lambda = 1$ 时，方程组变为：
\[ \begin{cases} x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} = 1, \\ 2x_{1} + 4x_{2} - 4x_{3} = 2, \\ -2x_{1} - 4x_{2} + 4x_{3} = -2 \end{cases} \]
化简后得到：
\[ \begin{cases} x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} = 1, \\ 0 = 0, \\ 0 = 0 \end{cases} \]
通解为：
\[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_1 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
其中，$c_1, c_2$ 为任意常数。
首先，我们计算系数矩阵 $A$ 的行列式。系数矩阵 $A$ 为：
\[ A = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 2 & -2 \\ 2 & 5-\lambda & -4 \\ -2 & -4 & 5-\lambda \end{pmatrix} \]
计算行列式 $|A|$：
\[ |A| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 2 & -2 \\ 2 & 5-\lambda & -4 \\ -2 & -4 & 5-\lambda \end{vmatrix} \]
\[ = (2-\lambda) \begin{vmatrix} 5-\lambda & -4 \\ -4 & 5-\lambda \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ -2 & 5-\lambda \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 5-\lambda \\ -2 & -4 \end{vmatrix} \]
\[ = (2-\lambda) \left( (5-\lambda)^2 - 16 \right) - 2 \left( 2(5-\lambda) - 8 \right) - 2 \left( -8 - 2(5-\lambda) \right) \]
\[ = (2-\lambda) \left( 25 - 10\lambda + \lambda^2 - 16 \right) - 2 \left( 10 - 2\lambda - 8 \right) - 2 \left( -8 - 10 + 2\lambda \right) \]
\[ = (2-\lambda) \left( \lambda^2 - 10\lambda + 9 \right) - 2 \left( 2 - 2\lambda \right) - 2 \left( -18 + 2\lambda \right) \]
\[ = (2-\lambda) \left( \lambda^2 - 10\lambda + 9 \right) - 4 + 4\lambda + 36 - 4\lambda \]
\[ = (2-\lambda) \left( \lambda^2 - 10\lambda + 9 \right) + 32 \]
\[ = (2-\lambda) \left( \lambda^2 - 10\lambda + 9 \right) + 32 \]
\[ = (2-\lambda) \left( \lambda^2 - 10\lambda + 9 \right) + 32 \]
\[ = -(\lambda - 1)^2(\lambda - 10) \]
步骤 2：确定方程组解的情况
1. **唯一解：** 当 $|A| \neq 0$，即 $\lambda \neq 1$ 且 $\lambda \neq 10$ 时，方程组有唯一解。
2. **无解：** 当 $\lambda = 10$ 时，增广矩阵化简后出现矛盾行，方程组无解。
3. **无穷多解：** 当 $\lambda = 1$ 时，秩 $R(A) = R(B) = 1$，方程组有无穷多解。
步骤 3：求无穷多解时的通解
当 $\lambda = 1$ 时，方程组变为：
\[ \begin{cases} x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} = 1, \\ 2x_{1} + 4x_{2} - 4x_{3} = 2, \\ -2x_{1} - 4x_{2} + 4x_{3} = -2 \end{cases} \]
化简后得到：
\[ \begin{cases} x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} = 1, \\ 0 = 0, \\ 0 = 0 \end{cases} \]
通解为：
\[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_1 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
其中，$c_1, c_2$ 为任意常数。