题目
旋转曲面({x)^2}-({y)^2}-({z)^2}=1是( )A. xOy平面上的双曲线绕x轴旋转所得B. xOz平面上的双曲线绕z轴旋转所得C. xOy平面上的椭圆绕x轴旋转所得D. xOz平面上的椭圆绕x轴旋转所得
旋转曲面${{x}^{2}}-{{y}^{2}}-{{z}^{2}}=1$是( )
A. $xOy$平面上的双曲线绕$x$轴旋转所得
B. $xOz$平面上的双曲线绕$z$轴旋转所得
C. $xOy$平面上的椭圆绕$x$轴旋转所得
D. $xOz$平面上的椭圆绕$x$轴旋转所得
题目解答
答案
A. $xOy$平面上的双曲线绕$x$轴旋转所得
解析
步骤 1：确定旋转曲面的类型
旋转曲面${{x}^{2}}-{{y}^{2}}-{{z}^{2}}=1$是一个双曲面，因为其方程中$x^2$项的系数为正，而$y^2$和$z^2$项的系数为负。这表明该曲面在$x$轴方向上是开口的，而在$y$轴和$z$轴方向上是闭合的。
步骤 2：确定旋转轴
由于$x^2$项的系数为正，而$y^2$和$z^2$项的系数为负，这意味着该曲面是通过将$xOy$平面上的双曲线绕$x$轴旋转得到的。这是因为$xOy$平面上的双曲线方程为${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=1$，当绕$x$轴旋转时，$z$轴方向上的坐标$z$将被引入，形成${{x}^{2}}-{{y}^{2}}-{{z}^{2}}=1$的形式。
步骤 3：排除其他选项
选项B、C和D分别描述了$xOz$平面上的双曲线绕$z$轴旋转、$xOy$平面上的椭圆绕$x$轴旋转和$xOz$平面上的椭圆绕$x$轴旋转。这些选项都不符合给定的旋转曲面方程${{x}^{2}}-{{y}^{2}}-{{z}^{2}}=1$，因为它们的方程形式与给定方程不匹配。
旋转曲面${{x}^{2}}-{{y}^{2}}-{{z}^{2}}=1$是一个双曲面，因为其方程中$x^2$项的系数为正，而$y^2$和$z^2$项的系数为负。这表明该曲面在$x$轴方向上是开口的，而在$y$轴和$z$轴方向上是闭合的。
步骤 2：确定旋转轴
由于$x^2$项的系数为正，而$y^2$和$z^2$项的系数为负，这意味着该曲面是通过将$xOy$平面上的双曲线绕$x$轴旋转得到的。这是因为$xOy$平面上的双曲线方程为${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=1$，当绕$x$轴旋转时，$z$轴方向上的坐标$z$将被引入，形成${{x}^{2}}-{{y}^{2}}-{{z}^{2}}=1$的形式。
步骤 3：排除其他选项
选项B、C和D分别描述了$xOz$平面上的双曲线绕$z$轴旋转、$xOy$平面上的椭圆绕$x$轴旋转和$xOz$平面上的椭圆绕$x$轴旋转。这些选项都不符合给定的旋转曲面方程${{x}^{2}}-{{y}^{2}}-{{z}^{2}}=1$，因为它们的方程形式与给定方程不匹配。