题目

(7)int tan ^10x sec ^2 x dx

(7)$\int \tan ^{10}x \sec ^{2} x dx$

题目解答

答案

令 $ u = \tan x $，则 $ du = \sec^2 x \, dx $。将原积分代入得：
$\int \tan^{10} x \sec^2 x \, dx = \int u^{10} \, du$
根据幂函数积分公式，$\int u^{10} \, du = \frac{1}{11} u^{11} + C$。将 $ u = \tan x $ 代回，得：
$\int \tan^{10} x \sec^2 x \, dx = \frac{1}{11} \tan^{11} x + C$
其中 $ C $ 为任意常数。

答案：
$\boxed{\frac{1}{11} \tan^{11} x + C}$

解析

本题考查不定积分的计算，解题思路是利用换元积分法来求解。换元积分法的核心思想是通过引入一个新的变量，将复杂的积分转化为较为简单的积分形式。对于本题，观察到被积函数中有$\tan x$和$\sec^2 x$，由于$(\tan x)^\prime=\sec^2 x$，所以可以令$u = \tan x$，这样$\sec^2 xdx$就可以转化为$du$，从而将原积分转化为关于$u$的幂函数积分。

  1. 换元：
    令$u = \tan x$，对$u$求导，根据求导公式$(\tan x)^\prime=\sec^2 x$，可得$du = \sec^2 xdx$。
    将$u = \tan x$和$du = \sec^2 xdx$代入原积分$\int \tan^{10} x \sec^2 xdx$中，得到$\int u^{10}du$。
  2. 计算关于$u$的积分：
    根据幂函数的积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$，$C$为常数），对于$\int u^{10}du$，这里$n = 10$，则有：
    $\int u^{10}du=\frac{1}{10 + 1}u^{10 + 1}+C=\frac{1}{11}u^{11}+C$
  3. 回代：
    将$u = \tan x$代回$\frac{1}{11}u^{11}+C$中，得到$\frac{1}{11}\tan^{11}x + C$。