题目

判断题（共20题，40.0分）题型说明：每题2分，共40分25.（2.0分）lim_(xtoinfty)(2x^2+1)/(3x^2)-2=(2)/(3)A 对B 错

判断题（共20题，40.0分） 题型说明：每题2分，共40分 25.（2.0分）$\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{2}+1}{3x^{2}-2}=\frac{2}{3}$ A 对 B 错

题目解答

答案

为了判断 $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{2}+1}{3x^{2}-2}=\frac{2}{3}$ 是否正确，我们需要计算当 $x$ 趋向于无穷大时，给定表达式的极限。让我们详细地走过这些步骤。 1. **识别表达式**：我们有 $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{2}+1}{3x^{2}-2}$。 2. **将分子和分母除以 $x^2$**：当处理多项式分数的极限，其中 $x$ 趋向于无穷大时，将分子和分母除以 $x$ 的最高次幂是有用的。这里，$x$ 的最高次幂是 $x^2$。 \[ \lim_{x\to\infty}\frac{2x^{2}+1}{3x^{2}-2} = \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{3x^{2}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}} = \lim_{x\to\infty}\frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{3 - \frac{2}{x^{2}}} \] 3. **评估极限**：当 $x$ 趋向于无穷大时，$\frac{1}{x^2}$ 和 $\frac{2}{x^2}$ 都趋向于0。因此，表达式简化为： \[ \lim_{x\to\infty}\frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{3 - \frac{2}{x^{2}}} = \frac{2 + 0}{3 - 0} = \frac{2}{3} \] 4. **结论**：极限 $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{2}+1}{3x^{2}-2}$ 确实是 $\frac{2}{3}$。 因此，正确答案是 $\boxed{A}$。

解析

考查要点：本题主要考查函数在无穷远处的极限计算，特别是多项式分式极限的求解方法。

解题核心思路：
当分子和分母的最高次数相同时，极限值为最高次项系数之比。具体步骤是将分子和分母同时除以$x$的最高次幂，化简后取极限。

破题关键点：

  1. 识别最高次项：分子和分母的最高次项均为$x^2$。
  2. 化简分式：通过除以$x^2$，将分式转化为易求极限的形式。
  3. 极限性质应用：利用$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^k}=0$（$k>0$）简化表达式。

步骤1：将分子和分母除以$x^2$
原式为：
$\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{2}+1}{3x^{2}-2}$
将分子和分母同时除以$x^2$：
$\lim_{x\to\infty}\frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{3 - \frac{2}{x^{2}}}$

步骤2：取极限
当$x\to\infty$时，$\frac{1}{x^2}\to0$，$\frac{2}{x^2}\to0$，因此：
$\frac{2 + 0}{3 - 0} = \frac{2}{3}$

结论：原式极限为$\frac{2}{3}$，题目描述正确。