求下列各极限：lim _(xarrow infty )dfrac ({(2x-3))^20((3x+2))^30}({(5x+1))^50}。

考查要点：本题主要考查多项式在无穷远处的极限，需要掌握最高次项主导性的应用，以及代数变形的能力。

解题核心思路：
当$x \rightarrow \infty$时，多项式中的最高次项会主导整个表达式。因此，将分子和分母中的每个因式提取出最高次项，转化为关于$x$的主导部分，再通过约简$x$的次数求出极限。

破题关键点：

1. 分解因式：将每个因式写成$x$的倍数与常数项的和，例如$2x-3 = x \cdot (2 - \frac{3}{x})$。
2. 约简$x$的次数：分子和分母的最高次项次数相同，约去$x$的次数后，极限值由系数比决定。
3. 极限化简：当$x \rightarrow \infty$时，$\frac{a}{x} \rightarrow 0$，因此可忽略低阶项。

步骤1：分解分子和分母中的每个因式
将分子中的$(2x-3)^{20}$和$(3x+2)^{30}$，以及分母中的$(5x+1)^{50}$分别提取出$x$的因子：
$\begin{aligned}(2x-3)^{20} &= \left( x \cdot \left(2 - \frac{3}{x}\right) \right)^{20} = x^{20} \cdot \left(2 - \frac{3}{x}\right)^{20}, \\(3x+2)^{30} &= \left( x \cdot \left(3 + \frac{2}{x}\right) \right)^{30} = x^{30} \cdot \left(3 + \frac{2}{x}\right)^{30}, \\(5x+1)^{50} &= \left( x \cdot \left(5 + \frac{1}{x}\right) \right)^{50} = x^{50} \cdot \left(5 + \frac{1}{x}\right)^{50}.\end{aligned}$

步骤2：代入原式并约简$x$的次数
将分解后的表达式代入原式，分子和分母中的$x$的次数均为$50$，可约去：
$\lim _{x\rightarrow \infty } \frac{x^{20} \cdot \left(2 - \frac{3}{x}\right)^{20} \cdot x^{30} \cdot \left(3 + \frac{2}{x}\right)^{30}}{x^{50} \cdot \left(5 + \frac{1}{x}\right)^{50}} = \lim _{x\rightarrow \infty } \frac{\left(2 - \frac{3}{x}\right)^{20} \cdot \left(3 + \frac{2}{x}\right)^{30}}{\left(5 + \frac{1}{x}\right)^{50}}.$

步骤3：计算极限
当$x \rightarrow \infty$时，$\frac{3}{x} \rightarrow 0$，$\frac{2}{x} \rightarrow 0$，$\frac{1}{x} \rightarrow 0$，因此：
$\lim _{x\rightarrow \infty } \frac{\left(2 - 0\right)^{20} \cdot \left(3 + 0\right)^{30}}{\left(5 + 0\right)^{50}} = \frac{2^{20} \cdot 3^{30}}{5^{50}}.$

步骤4：整理结果
将结果表示为幂的形式：
$\frac{2^{20} \cdot 3^{30}}{5^{50}} = \left(\frac{2}{5}\right)^{20} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{30}.$