lim_(x arrow infty ) ((1+x)/(x))^2x

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理形如“$1^{\infty}$”型不定式极限的技巧。需要学生掌握重要极限公式$\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$的应用，以及通过变形将复杂表达式转化为已知极限形式的能力。

解题核心思路：

1. 识别极限类型：原式为$\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}$，属于“$1^{\infty}$”型不定式极限。
2. 利用已知极限公式：将原式变形为$\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^2$，直接应用重要极限公式求解。
3. 简化运算：通过指数运算的性质，将复杂表达式拆解为已知极限的幂次形式。

步骤1：化简原式
原式为：
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1+x}{x}\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}$

步骤2：应用重要极限公式
观察到$\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$的极限为$e$，因此原式可改写为：
$\left[\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^2 = e^2$

步骤3：验证（可选）
若使用自然对数法验证：
设$L = \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}$，则：
$\ln L = \lim_{x \to \infty} 2x \cdot \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$
利用泰勒展开$\ln(1+\epsilon) \approx \epsilon - \frac{\epsilon^2}{2} + \cdots$（当$\epsilon \to 0$时），得：
$\ln L \approx \lim_{x \to \infty} 2x \cdot \frac{1}{x} = 2 \quad \Rightarrow \quad L = e^2$