单选题（共15题，30.0分） 题型说明：从备选答案中选出一个正确答案，错选、不选均不得分。 1.（2.0分）(arccscx)'=（）A. (scx)'B. 1/(mid xmid(x^^2-1)^^1/2)C. -1/(mid xmid(x^^2-1)^^1/2)D. (cschx)'

考查要点：本题主要考查反余割函数（$\arccsc x$）的导数公式，以及利用链式法则对复合函数求导的能力。

解题核心思路：
题目中给出$\arccsc x = \arcsin \left( \frac{1}{x} \right)$，可将反余割函数转化为反三角函数$\arcsin$的形式，再通过链式法则求导。关键在于正确应用反三角函数的导数公式，并注意符号和绝对值的处理。

破题关键点：

1. 链式法则：对复合函数$\arcsin \left( \frac{1}{x} \right)$求导时，需先对$\arcsin u$求导，再乘以内层函数$u = \frac{1}{x}$的导数。
2. 分母化简：将$\sqrt{1 - \left( \frac{1}{x} \right)^2}$转化为$\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{|x|}$，注意绝对值符号的引入。
3. 符号判断：最终结果应为负值，与反余割函数的单调性一致。

步骤1：表达式转化
根据题意，$\arccsc x = \arcsin \left( \frac{1}{x} \right)$，因此求导时可将$\arccsc x$视为$\arcsin \left( \frac{1}{x} \right)$的复合函数。

步骤2：应用链式法则
对$\arcsin u$求导，其中$u = \frac{1}{x}$：
$\frac{d}{dx} \arcsin u = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{dx}$

步骤3：计算内层导数
求$u = \frac{1}{x}$的导数：
$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{x^2}$

步骤4：代入并化简
将$u = \frac{1}{x}$和$\frac{du}{dx}$代入链式法则公式：
$\begin{aligned}(\arccsc x)' &= \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{1}{x} \right)^2}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) \\&= \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2}}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) \\&= \frac{|x|}{\sqrt{x^2 - 1}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) \\&= -\frac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1}}\end{aligned}$

关键结论：
最终导数为$-\frac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1}}$，对应选项C。