题目
lim . ((1+dfrac {1)(x))}^(x^2)-|||-.-|||-.arrow +infty e .x
题目解答
答案
本题主要考查极限的运算。
$\lim_{x \rightarrow +\infty }{(1+\dfrac{1}{x})}^{{x}^{2}}$
$=\lim_{x \rightarrow +\infty }{[(1+\dfrac{1}{x})^{\frac{1}{x}}]}^{{x}^{2}}$
$=e^{2}$
$\lim_{x \rightarrow +\infty }{(1+\dfrac{1}{x})}^{{x}^{2}}$
$=\lim_{x \rightarrow +\infty }{[(1+\dfrac{1}{x})^{\frac{1}{x}}]}^{{x}^{2}}$
$=e^{2}$
解析
步骤 1：识别极限形式
给定的极限形式为 $\lim_{x \rightarrow +\infty }{(1+\dfrac{1}{x})}^{{x}^{2}}$，这是一个典型的指数函数的极限形式，其中底数为 $(1+\dfrac{1}{x})$，指数为 ${x}^{2}$。
步骤 2：应用指数函数的极限性质
我们知道，当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$(1+\dfrac{1}{x})^x$ 的极限是 $e$。因此，我们可以将原极限形式改写为 $\lim_{x \rightarrow +\infty }{[(1+\dfrac{1}{x})^{\frac{1}{x}}]}^{{x}^{2}}$，其中 $(1+\dfrac{1}{x})^{\frac{1}{x}}$ 的极限是 $e$。
步骤 3：计算最终极限
由于 $(1+\dfrac{1}{x})^{\frac{1}{x}}$ 的极限是 $e$，因此原极限可以进一步简化为 $\lim_{x \rightarrow +\infty }{e}^{{x}^{2}}$。由于 $x^2$ 随着 $x$ 的增加而增加，因此 ${e}^{{x}^{2}}$ 的极限是 $e^{2}$。
给定的极限形式为 $\lim_{x \rightarrow +\infty }{(1+\dfrac{1}{x})}^{{x}^{2}}$，这是一个典型的指数函数的极限形式，其中底数为 $(1+\dfrac{1}{x})$，指数为 ${x}^{2}$。
步骤 2：应用指数函数的极限性质
我们知道，当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$(1+\dfrac{1}{x})^x$ 的极限是 $e$。因此，我们可以将原极限形式改写为 $\lim_{x \rightarrow +\infty }{[(1+\dfrac{1}{x})^{\frac{1}{x}}]}^{{x}^{2}}$，其中 $(1+\dfrac{1}{x})^{\frac{1}{x}}$ 的极限是 $e$。
步骤 3：计算最终极限
由于 $(1+\dfrac{1}{x})^{\frac{1}{x}}$ 的极限是 $e$，因此原极限可以进一步简化为 $\lim_{x \rightarrow +\infty }{e}^{{x}^{2}}$。由于 $x^2$ 随着 $x$ 的增加而增加，因此 ${e}^{{x}^{2}}$ 的极限是 $e^{2}$。