题目
13. (int )_(0)^1x(e)^xdx= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：使用分部积分法
分部积分法的公式为：${\int }_{a}^{b}u\left(x\right)v\text{'}\left(x\right)dx={\left[u\left(x\right)v\left(x\right)\right]}_{a}^{b}-{\int }_{a}^{b}u\text{'}\left(x\right)v\left(x\right)dx$。这里，我们选择 $u\left(x\right)=x$ 和 $v\text{'}\left(x\right)={e}^{x}$，因此 $u\text{'}\left(x\right)=1$ 和 $v\left(x\right)={e}^{x}$。
步骤 2：应用分部积分法
将 $u\left(x\right)$ 和 $v\left(x\right)$ 代入分部积分法的公式中，得到 ${\int }_{0}^{1}x{e}^{x}dx={\left[x{e}^{x}\right]}_{0}^{1}-{\int }_{0}^{1}{e}^{x}dx$。
步骤 3：计算积分
计算 ${\int }_{0}^{1}{e}^{x}dx$，得到 ${\int }_{0}^{1}{e}^{x}dx={\left[{e}^{x}\right]}_{0}^{1}={e}^{1}-{e}^{0}=e-1$。
步骤 4：计算最终结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果代入，得到 ${\int }_{0}^{1}x{e}^{x}dx={\left[x{e}^{x}\right]}_{0}^{1}-{\int }_{0}^{1}{e}^{x}dx={\left[x{e}^{x}\right]}_{0}^{1}-\left(e-1\right)=1\cdot e-0\cdot {e}^{0}-\left(e-1\right)=e-e+1=1$。
分部积分法的公式为：${\int }_{a}^{b}u\left(x\right)v\text{'}\left(x\right)dx={\left[u\left(x\right)v\left(x\right)\right]}_{a}^{b}-{\int }_{a}^{b}u\text{'}\left(x\right)v\left(x\right)dx$。这里，我们选择 $u\left(x\right)=x$ 和 $v\text{'}\left(x\right)={e}^{x}$，因此 $u\text{'}\left(x\right)=1$ 和 $v\left(x\right)={e}^{x}$。
步骤 2：应用分部积分法
将 $u\left(x\right)$ 和 $v\left(x\right)$ 代入分部积分法的公式中，得到 ${\int }_{0}^{1}x{e}^{x}dx={\left[x{e}^{x}\right]}_{0}^{1}-{\int }_{0}^{1}{e}^{x}dx$。
步骤 3：计算积分
计算 ${\int }_{0}^{1}{e}^{x}dx$，得到 ${\int }_{0}^{1}{e}^{x}dx={\left[{e}^{x}\right]}_{0}^{1}={e}^{1}-{e}^{0}=e-1$。
步骤 4：计算最终结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果代入，得到 ${\int }_{0}^{1}x{e}^{x}dx={\left[x{e}^{x}\right]}_{0}^{1}-{\int }_{0}^{1}{e}^{x}dx={\left[x{e}^{x}\right]}_{0}^{1}-\left(e-1\right)=1\cdot e-0\cdot {e}^{0}-\left(e-1\right)=e-e+1=1$。