题目
31/50 判断题（分值1.0分，难度：易）如果Acap B=B，则A=E.bigcirc对●错
31/50 判断题（分值1.0分，难度：易）
如果$A\cap B=B$，则A=E.
$\bigcirc$对
●错
题目解答
答案
为了判断陈述“如果 $ A \cap B = B $，则 $ A = E $”的正确性，我们需要理解集合交集的性质以及 $ A \cap B = B $ 的含义。
1. **集合交集的定义**：
两个集合 $ A $ 和 $ B $ 的交集，记作 $ A \cap B $，是所有同时属于 $ A $ 和 $ B $ 的元素的集合。
2. **给定条件**：
$ A \cap B = B $。这意味着集合 $ B $ 中的每一个元素也必须在集合 $ A $ 中。换句话说， $ B $ 是 $ A $ 的子集，即 $ B \subseteq A $。
3. **结论**：
从条件 $ A \cap B = B $，我们只能得出 $ B \subseteq A $。这并不一定意味着 $ A $ 是全集 $ E $。集合 $ A $ 可以是任何包含 $ B $ 作为子集的集合，但 $ A $ 不一定必须是全集 $ E $。
例如，如果 $ B = \{1, 2\} $ 且 $ A = \{1, 2, 3\} $，那么 $ A \cap B = \{1, 2\} = B $，但 $ A \neq E $（除非全集 $ E $ 恰好是 $ \{1, 2, 3\} $）。
因此，陈述“如果 $ A \cap B = B $，则 $ A = E $”是错误的。
答案是：$\boxed{\text{错}}$。
解析
步骤 1：理解集合交集的定义
集合 $A$ 和 $B$ 的交集，记作 $A \cap B$，是所有同时属于 $A$ 和 $B$ 的元素的集合。
步骤 2：分析给定条件
给定条件是 $A \cap B = B$。这意味着集合 $B$ 中的每一个元素也必须在集合 $A$ 中。换句话说，$B$ 是 $A$ 的子集，即 $B \subseteq A$。
步骤 3：得出结论
从条件 $A \cap B = B$，我们只能得出 $B \subseteq A$。这并不一定意味着 $A$ 是全集 $E$。集合 $A$ 可以是任何包含 $B$ 作为子集的集合，但 $A$ 不一定必须是全集 $E$。例如，如果 $B = \{1, 2\}$ 且 $A = \{1, 2, 3\}$，那么 $A \cap B = \{1, 2\} = B$，但 $A \neq E$（除非全集 $E$ 恰好是 $\{1, 2, 3\}$）。
集合 $A$ 和 $B$ 的交集，记作 $A \cap B$，是所有同时属于 $A$ 和 $B$ 的元素的集合。
步骤 2：分析给定条件
给定条件是 $A \cap B = B$。这意味着集合 $B$ 中的每一个元素也必须在集合 $A$ 中。换句话说，$B$ 是 $A$ 的子集，即 $B \subseteq A$。
步骤 3：得出结论
从条件 $A \cap B = B$，我们只能得出 $B \subseteq A$。这并不一定意味着 $A$ 是全集 $E$。集合 $A$ 可以是任何包含 $B$ 作为子集的集合，但 $A$ 不一定必须是全集 $E$。例如，如果 $B = \{1, 2\}$ 且 $A = \{1, 2, 3\}$，那么 $A \cap B = \{1, 2\} = B$，但 $A \neq E$（除非全集 $E$ 恰好是 $\{1, 2, 3\}$）。