设 0 < P(B) < 1，且 P(A|B) + P(overline(A)|overline(B)) = 1，则下列选项中正确的是()。A. A 与 B 互不相容B. A 与 B 对立C. A 与 B 独立D. A 与 B 不独立

我们来逐步分析这道概率题。

题目条件：

• $ 0 < P(B) < 1 $：说明事件 $ B $ 既不是必然事件，也不是不可能事件，其补事件 $ \overline{B} $ 的概率也大于 0。
• $ P(A|B) + P(\overline{A}|\overline{B}) = 1 $

我们要判断在该条件下，哪一个选项是正确的：

A. $ A $ 与 $ B $ 互不相容
B. $ A $ 与 $ B $ 对立
C. $ A $ 与 $ B $ 独立
D. $ A $ 与 $ B $ 不独立

第一步：理解条件

我们已知：

$P(A|B) + P(\overline{A}|\overline{B}) = 1$

根据条件概率的定义：

• $ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $
• $ P(\overline{A}|\overline{B}) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{B})} $

而 $ P(\overline{B}) = 1 - P(B) $，记作 $ q = 1 - p $，其中 $ p = P(B) \in (0,1) $

所以原式变为：

$\frac{P(A \cap B)}{P(B)} + \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{1 - P(B)} = 1 \tag{1}$

第二步：尝试推导关系

我们记：

• $ P(A \cap B) = x $
• $ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = y $

那么式 (1) 变为：

$\frac{x}{P(B)} + \frac{y}{1 - P(B)} = 1$

注意：$ y = P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) $，即 $ A $ 和 $ B $ 都不发生的概率。

我们也可以从全概率的角度考虑：

整个样本空间可以划分为四个互斥部分：

1. $ A \cap B $
2. $ A \cap \overline{B} $
3. $ \overline{A} \cap B $
4. $ \overline{A} \cap \overline{B} $

它们的概率之和为 1。

我们现在关注的是条件：

$P(A|B) + P(\overline{A}|\overline{B}) = 1$

我们尝试将其变形：

$P(A|B) = 1 - P(\overline{A}|\overline{B})$

但注意：$ P(\overline{A}|\overline{B}) = 1 - P(A|\overline{B}) $，所以代入得：

$P(A|B) + (1 - P(A|\overline{B})) = 1 \Rightarrow P(A|B) - P(A|\overline{B}) = 0 \Rightarrow P(A|B) = P(A|\overline{B})$

这是一个关键结论！

第三步：得出 $ P(A|B) = P(A|\overline{B}) $

从原条件：

$P(A|B) + P(\overline{A}|\overline{B}) = 1 \Rightarrow P(A|B) = 1 - P(\overline{A}|\overline{B}) = P(A|\overline{B})$

所以：

$P(A|B) = P(A|\overline{B})$

记这个公共值为 $ p_A $，即在 $ B $ 发生和不发生的情况下，$ A $ 发生的条件概率相等。

第四步：利用全概率公式求 $ P(A) $

根据全概率公式：

$P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\overline{B})P(\overline{B})$

但 $ P(A|B) = P(A|\overline{B}) = x $（设为某个值）

所以：

$P(A) = x \cdot P(B) + x \cdot (1 - P(B)) = x$

即：$ P(A) = x = P(A|B) = P(A|\overline{B}) $

这说明：

$P(A|B) = P(A)$

而这正是事件 $ A $ 与 $ B $ 相互独立的定义！

第五步：得出结论

我们从条件推出了：

$P(A|B) = P(A) \Rightarrow A \text{ 与 } B \text{ 独立}$

所以正确选项是：

$\boxed{\text{C. } A \text{ 与 } B \text{ 独立}}$

第六步：验证其他选项为何错误

A. $ A $ 与 $ B $ 互不相容

互不相容意味着 $ P(A \cap B) = 0 $，即 $ P(A|B) = 0 $

但从条件 $ P(A|B) + P(\overline{A}|\overline{B}) = 1 $，若 $ P(A|B) = 0 $，则 $ P(\overline{A}|\overline{B}) = 1 $，即 $ P(A|\overline{B}) = 0 $

那么 $ P(A|B) = P(A|\overline{B}) = 0 $，所以 $ P(A) = 0 $，但题目没有说 $ A $ 是不可能事件。虽然这在数学上可能成立，但不一定总是成立，而题目要求的是“一定正确”的选项。

更重要的是，互不相容且独立的事件，除非其中一个概率为 0，否则不可能。而这里 $ P(B) \in (0,1) $，若 $ A $ 与 $ B $ 互不相容且独立，则：

$P(A \cap B) = 0, \quad \text{又} \quad P(A \cap B) = P(A)P(B) \Rightarrow P(A)P(B) = 0 \Rightarrow P(A) = 0$

但题目没有给出 $ P(A) = 0 $，所以不能推出互不相容。故 A 错。

B. $ A $ 与 $ B $ 对立

对立事件意味着 $ A = \overline{B} $，即 $ A $ 发生当且仅当 $ B $ 不发生。

此时 $ P(A|B) = P(\overline{B}|B) = 0 $，$ P(\overline{A}|\overline{B}) = P(B|\overline{B}) = 0 $，所以和为 0，不等于 1，矛盾。

所以对立事件不满足条件。B 错。

D. $ A $ 与 $ B $ 不独立

我们已经推出它们独立，所以 D 错。

✅ 最终答案：

$\boxed{\text{C}}$