求下面齐次线性方程组的一个基础解系 ) (x)_(1)+2(x)_(2)+(x)_(3)+(x)_(4)+(x)_(5)=0 2(x)_(1)+4(x)_(2)+3(x)_(3)+(x)_(4)+(x)_(5)=0 -(x)_(1)-2 .

考查要点：本题要求求解齐次线性方程组的基础解系，核心在于通过矩阵的初等行变换化为行阶梯形，确定解空间的结构，并选取自由变量进行回代求解。

解题思路：

1. 构造系数矩阵，将方程组转化为矩阵形式；
2. 进行初等行变换，将矩阵化为行阶梯形，确定主变量和自由变量；
3. 设定自由变量的值（通常取1或0），通过回代求出主变量的表达式；
4. 整理解向量，得到基础解系。

关键点：

• 矩阵的秩决定了基础解系中向量的个数；
• 自由变量的选择直接影响解向量的具体形式；
• 回代过程需严格按照行阶梯形矩阵中的方程逐层求解。

步骤1：构造系数矩阵
原方程组的系数矩阵为：
$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\-2 & 4 & 3 & 1 & 1 \\-1 & -2 & 1 & 3 & -3 \\0 & 0 & 2 & 5 & -2\end{pmatrix}$

步骤2：初等行变换化为行阶梯形

1. 第一行清零：

   • 第二行加 $2$ 倍第一行：$R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1$，得 $[0, 8, 5, 3, 3]$；
   • 第三行加第一行：$R_3 \leftarrow R_3 + R_1$，得 $[0, 0, 2, 4, -2]$；
   • 第四行保持不变。
     此时矩阵为：
     $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 8 & 5 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 5 & -2 \end{pmatrix}$

2. 第三行清零：

   • 第四行减第三行：$R_4 \leftarrow R_4 - R_3$，得 $[0, 0, 0, 1, 0]$；
   • 第二行减 $2$ 倍第四行：$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_4$，得 $[0, 8, 5, 0, 3]$；
   • 第三行减 $4$ 倍第四行：$R_3 \leftarrow R_3 - 4R_4$，得 $[0, 0, 2, 0, -2]$。
     最终行阶梯形矩阵为：
     $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 8 & 5 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

步骤3：确定自由变量与回代

• 主变量：$x_1, x_2, x_3, x_4$（对应主元所在列）；
• 自由变量：$x_5$（无主元所在列）；
• 设定：令 $x_5 = 1$，回代求解：
  1. 第四行：$x_4 = 0$；
  2. 第三行：$2x_3 - 2x_5 = 0 \Rightarrow x_3 = x_5 = 1$；
  3. 第二行：$8x_2 + 5x_3 + 3x_5 = 0 \Rightarrow 8x_2 + 5(1) + 3(1) = 0 \Rightarrow x_2 = -1$；
  4. 第一行：$x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 0 \Rightarrow x_1 + 2(-1) + 1 + 0 + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 0$。

步骤4：整理基础解系
解向量为：
$\boldsymbol{\xi} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$