399 齐次线性方程组 ) (x)_(1)+2(x)_(3)-(x)_(4)=0 (x)_(1)+(x)_(2)+ (x)_(4)=0.

步骤 1：确定方程组的秩
首先，我们需要确定给定齐次线性方程组的系数矩阵的秩。方程组为：
$$
\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}+2{x}_{3}-{x}_{4}=0\\ {x}_{1}+{x}_{2}+\quad {x}_{4}=0\end{matrix} \right.
$$
系数矩阵为：
$$
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
$$
通过行变换，我们可以将矩阵化简为阶梯形矩阵：
$$
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}
$$
因此，秩 r(A) = 2。

步骤 2：确定基础解系的向量个数
根据基础解系的定义，基础解系的向量个数为 n - r(A)，其中 n 是未知数的个数。在这个问题中，n = 4，所以基础解系的向量个数为 4 - 2 = 2。

步骤 3：验证选项中的向量是否为解
我们需要验证选项中的向量是否满足方程组。对于选项 (A) 中的向量 ${(-2,2,1,0)}^{T}$，代入方程组验证：
$$
\begin{cases}
-2 + 2 \cdot 1 - 0 = 0 \\
-2 + 2 + 0 = 0
\end{cases}
$$
满足方程组，所以 ${(-2,2,1,0)}^{T}$ 是方程组的解。对于选项 (A) 中的另一个向量 (1,2,0,1)^T，代入方程组验证：
$$
\begin{cases}
1 + 2 \cdot 0 - 1 = 0 \\
1 + 2 + 1 = 0
\end{cases}
$$
不满足方程组，所以 (1,2,0,1)^T 不是方程组的解。因此，选项 (A) 不是基础解系。

步骤 4：验证选项 (C) 中的向量是否为解
对于选项 (C) 中的向量 ${(-2,2,1,0)}^{T}$，我们已经验证它是方程组的解。对于选项 (C) 中的另一个向量 $(2,2,-3,-4)^T$，代入方程组验证：
$$
\begin{cases}
2 + 2 \cdot (-3) - (-4) = 0 \\
2 + 2 + (-4) = 0
\end{cases}
$$
满足方程组，所以 $(2,2,-3,-4)^T$ 是方程组的解。因此，选项 (C) 是基础解系。