题目
设8/5是在8/5上连续的严格单调增加的正函数，8/5，8/5由围的图形的面积8/5 ，由8/5所围成的图形的面积8/5( 1 ) 证明存在唯一的8/5 使得 8/5 ;( 2 ) 问函数8/5是否存在最小值
设
是在
上连续的严格单调增加的正函数，
，
由围的图形的面积
，由
所围成的图形的面积
( 1 ) 证明存在唯一的
使得 
;
( 2 ) 问函数
是否存在最小值
题目解答
答案
∵
（1）令
由零点定理可知，
使得
，又
∴
在单调下降，在
只有唯一零点，存在唯一的 使得
（2）令
当
时，
∵
由介值定理可知，存在唯一的
使得
,且
时，
,
单调下降；
时，
，单调上升；
时，为上的最小值。
故本题答案：（1）存在（2）存在
解析
步骤 1：定义${S}_{1}(t)$和${S}_{2}(t)$
${S}_{1}(t)$是$y=f(x)$，$y=f(a)$，$x=t$所围成的图形的面积，可以表示为：
${S}_{1}(t)={\int }_{a}^{t}f(x)dx-f(a)(t-a)$
${S}_{2}(t)$是$y=f(x)$，$y=f(b)$，$x=t$所围成的图形的面积，可以表示为：
${S}_{2}(t)=f(b)(b-t)-{\int }_{t}^{b}f(x)dx$
步骤 2：证明存在唯一的${t}_{0}\in (a,b)$使得${S}_{1}({t}_{0})={S}_{2}({t}_{0})$
令$F(t)={S}_{1}(t)-{S}_{2}(t)$，则有：
$F(a)={S}_{1}(a)-{S}_{2}(a)={\int }_{a}^{b}f(x)dx-f(b)(b-a)\gt 0$
$F(b)={S}_{1}(b)-{S}_{2}(b)={\int }_{a}^{b}f(x)dx-f(a)(b-a)\lt 0$
由零点定理可知，存在${t}_{0}\in (a,b)$使得$F({t}_{0})=0$，即${S}_{1}({t}_{0})={S}_{2}({t}_{0})$。
步骤 3：证明${t}_{0}$的唯一性
$F'(t)=f(t)-f(a)-f(b)+f(t)=2f(t)-f(a)-f(b)$
因为$f(x)$是严格单调增加的正函数，所以$F'(t)$在$(a,b)$上是严格单调增加的，因此$F(t)$在$(a,b)$上是严格单调增加的，所以${t}_{0}$是唯一的。
步骤 4：证明${S}_{1}(t)+{S}_{2}(t)$是否存在最小值
令$G(t)={S}_{1}(t)+{S}_{2}(t)$，则有：
$G(t)={\int }_{a}^{t}f(x)dx-f(a)(t-a)+f(b)(b-t)-{\int }_{t}^{b}f(x)dx$
$G'(t)=f(t)-f(a)-f(b)+f(t)=2f(t)-f(a)-f(b)$
当$G'(t)=0$时，$f(t)=\dfrac{f(a)+f(b)}{2}$，由介值定理可知，存在唯一的${t}_{1}\in (a,b)$使得$f({t}_{1})=\dfrac{f(a)+f(b)}{2}$。
当$t<{t}_{1}$时，$G'(t)<0$，$G(t)$单调下降；
当$t>{t}_{1}$时，$G'(t)>0$，$G(t)$单调上升；
当$t={t}_{1}$时，$G(t)$为$(a,b)$上的最小值。
${S}_{1}(t)$是$y=f(x)$，$y=f(a)$，$x=t$所围成的图形的面积，可以表示为：
${S}_{1}(t)={\int }_{a}^{t}f(x)dx-f(a)(t-a)$
${S}_{2}(t)$是$y=f(x)$，$y=f(b)$，$x=t$所围成的图形的面积，可以表示为：
${S}_{2}(t)=f(b)(b-t)-{\int }_{t}^{b}f(x)dx$
步骤 2：证明存在唯一的${t}_{0}\in (a,b)$使得${S}_{1}({t}_{0})={S}_{2}({t}_{0})$
令$F(t)={S}_{1}(t)-{S}_{2}(t)$，则有：
$F(a)={S}_{1}(a)-{S}_{2}(a)={\int }_{a}^{b}f(x)dx-f(b)(b-a)\gt 0$
$F(b)={S}_{1}(b)-{S}_{2}(b)={\int }_{a}^{b}f(x)dx-f(a)(b-a)\lt 0$
由零点定理可知，存在${t}_{0}\in (a,b)$使得$F({t}_{0})=0$，即${S}_{1}({t}_{0})={S}_{2}({t}_{0})$。
步骤 3：证明${t}_{0}$的唯一性
$F'(t)=f(t)-f(a)-f(b)+f(t)=2f(t)-f(a)-f(b)$
因为$f(x)$是严格单调增加的正函数，所以$F'(t)$在$(a,b)$上是严格单调增加的，因此$F(t)$在$(a,b)$上是严格单调增加的，所以${t}_{0}$是唯一的。
步骤 4：证明${S}_{1}(t)+{S}_{2}(t)$是否存在最小值
令$G(t)={S}_{1}(t)+{S}_{2}(t)$，则有：
$G(t)={\int }_{a}^{t}f(x)dx-f(a)(t-a)+f(b)(b-t)-{\int }_{t}^{b}f(x)dx$
$G'(t)=f(t)-f(a)-f(b)+f(t)=2f(t)-f(a)-f(b)$
当$G'(t)=0$时，$f(t)=\dfrac{f(a)+f(b)}{2}$，由介值定理可知，存在唯一的${t}_{1}\in (a,b)$使得$f({t}_{1})=\dfrac{f(a)+f(b)}{2}$。
当$t<{t}_{1}$时，$G'(t)<0$，$G(t)$单调下降；
当$t>{t}_{1}$时，$G'(t)>0$，$G(t)$单调上升；
当$t={t}_{1}$时，$G(t)$为$(a,b)$上的最小值。