题目
24.（填空题，3.0分）函数z=2x^2-3xy+2y^2+4x-3y+1的极值=____
24.（填空题，3.0分）
函数$z=2x^{2}-3xy+2y^{2}+4x-3y+1$的极值=____
题目解答
答案
1. **求一阶偏导数并解方程组：**
$ z_x = 4x - 3y + 4 = 0 $，
$ z_y = -3x + 4y - 3 = 0 $。
解得驻点 $ (-1, 0) $。
2. **计算二阶偏导数：**
$ z_{xx} = 4 $，
$ z_{xy} = -3 $，
$ z_{yy} = 4 $。
3. **判别极值：**
$ D = z_{xx}z_{yy} - (z_{xy})^2 = 16 - 9 = 7 > 0 $，且 $ z_{xx} = 4 > 0 $，
故在 $ (-1, 0) $ 处有极小值。
4. **计算极值：**
$ z(-1, 0) = 2(-1)^2 - 3(-1)(0) + 2(0)^2 + 4(-1) - 3(0) + 1 = -1 $。
**答案：** 极小值为 $\boxed{-1}$，在点 $(-1, 0)$ 处取得。