题目
[题目]-|||-求 (x)=lim _(narrow infty )sqrt (1+{x)^n+((dfrac {{x)^2}(2))}^n}(xgeqslant 0) 的表达式.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 $x$ 的取值范围
首先，我们需要确定 $x$ 的取值范围，因为 $x$ 的取值范围将影响极限的计算。题目中给出 $x \geqslant 0$，因此我们需要分别考虑 $x$ 在不同区间内的取值情况。
步骤 2：分析 $x$ 在不同区间内的极限
- 当 $0 \leqslant x < 1$ 时，$x^n$ 和 $(\frac{x^2}{2})^n$ 都会趋向于 0，因此极限为 $\sqrt{1+0+0} = 1$。
- 当 $1 \leqslant x < 2$ 时，$x^n$ 会趋向于无穷大，而 $(\frac{x^2}{2})^n$ 会趋向于 0，因此极限为 $\sqrt{1+x^n+0} = x$。
- 当 $x \geqslant 2$ 时，$(\frac{x^2}{2})^n$ 会趋向于无穷大，而 $x^n$ 会趋向于无穷大，因此极限为 $\sqrt{1+x^n+(\frac{x^2}{2})^n} = \frac{x}{2}$。
步骤 3：总结结果
根据上述分析，我们可以得到 $f(x)$ 在不同区间内的表达式。
首先，我们需要确定 $x$ 的取值范围，因为 $x$ 的取值范围将影响极限的计算。题目中给出 $x \geqslant 0$，因此我们需要分别考虑 $x$ 在不同区间内的取值情况。
步骤 2：分析 $x$ 在不同区间内的极限
- 当 $0 \leqslant x < 1$ 时，$x^n$ 和 $(\frac{x^2}{2})^n$ 都会趋向于 0，因此极限为 $\sqrt{1+0+0} = 1$。
- 当 $1 \leqslant x < 2$ 时，$x^n$ 会趋向于无穷大，而 $(\frac{x^2}{2})^n$ 会趋向于 0，因此极限为 $\sqrt{1+x^n+0} = x$。
- 当 $x \geqslant 2$ 时，$(\frac{x^2}{2})^n$ 会趋向于无穷大，而 $x^n$ 会趋向于无穷大，因此极限为 $\sqrt{1+x^n+(\frac{x^2}{2})^n} = \frac{x}{2}$。
步骤 3：总结结果
根据上述分析，我们可以得到 $f(x)$ 在不同区间内的表达式。