题目
一天泉弟子携带若干件珠宝，前往灾后不羡仙兼济天下。若每户赠与3件珠宝，则还余1；若每户赠与5件珠宝，则还余2；若每户赠与7件珠宝，则还余1。则此弟子出门至少随身携带了多少件珠宝？
一天泉弟子携带若干件珠宝，前往灾后不羡仙兼济天下。
若每户赠与3件珠宝，则还余1；若每户赠与5件珠宝，则还余2；若每户赠与7件珠宝，则还余1。
则此弟子出门至少随身携带了多少件珠宝？
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要找到一个最小的正整数 $ x $，它满足以下条件：
1. 当 $ x $ 除以 3 时，余数为 1。
2. 当 $ x $ 除以 5 时，余数为 2。
3. 当 $ x $ 除以 7 时，余数为 1。
我们可以将这些条件表示为同余方程：
\[ x \equiv 1 \pmod{3} \]
\[ x \equiv 2 \pmod{5} \]
\[ x \equiv 1 \pmod{7} \]
首先，我们注意到 $ x \equiv 1 \pmod{3} $ 和 $ x \equiv 1 \pmod{7} $ 可以合并为一个同余方程，因为 3 和 7 是互质的：
\[ x \equiv 1 \pmod{21} \]
这意味着 $ x $ 可以写成以下形式：
\[ x = 21k + 1 \]
对于某个整数 $ k $。
接下来，我们将 $ x = 21k + 1 $ 代入第二个同余方程：
\[ 21k + 1 \equiv 2 \pmod{5} \]
我们简化 $ 21k + 1 $ 模 5：
\[ 21k + 1 \equiv 1k + 1 \equiv k + 1 \pmod{5} \]
因此，同余方程变为：
\[ k + 1 \equiv 2 \pmod{5} \]
从两边减去 1：
\[ k \equiv 1 \pmod{5} \]
这意味着 $ k $ 可以写成以下形式：
\[ k = 5m + 1 \]
对于某个整数 $ m $。
将 $ k = 5m + 1 $ 代回 $ x $ 的表达式：
\[ x = 21(5m + 1) + 1 = 105m + 21 + 1 = 105m + 22 \]
$ x $ 的最小正数值发生在 $ m = 0 $ 时：
\[ x = 105 \cdot 0 + 22 = 22 \]
因此，此弟子出门至少随身携带了 $\boxed{22}$ 件珠宝。
解析
考查要点：本题主要考查同余方程组的解法，需要学生掌握中国剩余定理的基本思想，能够将多个同余条件合并求解，并找到最小正整数解。
解题核心思路：
- 将题目中的条件转化为同余方程，明确每个条件对应的模数和余数。
- 合并同余方程：优先处理余数相同的条件，利用模数互质的性质合并为更高次的同余方程。
- 逐步代入求解：将合并后的方程代入剩余条件，逐步调整参数，最终确定最小正整数解。
破题关键点：
- 识别余数相同的条件（如$x \equiv 1 \pmod{3}$和$x \equiv 1 \pmod{7}$），合并为$x \equiv 1 \pmod{21}$。
- 代入剩余条件时，通过简化模运算快速确定参数范围。
步骤1：建立同余方程
根据题意，设珠宝总数为$x$，则：
$\begin{cases}x \equiv 1 \pmod{3} \\x \equiv 2 \pmod{5} \\x \equiv 1 \pmod{7}\end{cases}$
步骤2：合并前两个余数相同的条件
观察到$x \equiv 1 \pmod{3}$和$x \equiv 1 \pmod{7}$，由于$3$和$7$互质，合并得：
$x \equiv 1 \pmod{21}$
即$x = 21k + 1$（$k$为非负整数）。
步骤3：代入第二个条件求$k$
将$x = 21k + 1$代入$x \equiv 2 \pmod{5}$：
$21k + 1 \equiv 2 \pmod{5} \implies k + 1 \equiv 2 \pmod{5} \implies k \equiv 1 \pmod{5}$
因此，$k = 5m + 1$（$m$为非负整数）。
步骤4：确定$x$的表达式并求最小值
将$k = 5m + 1$代入$x = 21k + 1$：
$x = 21(5m + 1) + 1 = 105m + 22$
当$m = 0$时，$x = 22$为最小正整数解。
步骤5：验证解的正确性
- $22 \div 3 = 7$余$1$，满足$x \equiv 1 \pmod{3}$
- $22 \div 5 = 4$余$2$，满足$x \equiv 2 \pmod{5}$
- $22 \div 7 = 3$余$1$，满足$x \equiv 1 \pmod{7}$