16、求微分方程 '+y=sin x 的通解

步骤 1：识别方程类型
给定的微分方程 $xy' + y = \sin x$ 是一阶线性微分方程，可以写成标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x) = \frac{1}{x}$，$Q(x) = \frac{\sin x}{x}$。

步骤 2：求解积分因子
积分因子 $\mu(x)$ 由公式 $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$ 给出。因此，我们首先计算 $\int P(x)dx$：
$$
\int P(x)dx = \int \frac{1}{x}dx = \ln|x|
$$
所以，积分因子 $\mu(x) = e^{\ln|x|} = |x|$。由于 $x$ 在方程中作为系数，我们假设 $x > 0$，因此 $\mu(x) = x$。

步骤 3：应用积分因子
将积分因子 $\mu(x) = x$ 乘以原方程的两边，得到：
$$
x(y' + \frac{1}{x}y) = x\frac{\sin x}{x}
$$
简化后得到：
$$
xy' + y = \sin x
$$
这可以写成：
$$
(x y)' = \sin x
$$
步骤 4：积分求解
对上式两边积分，得到：
$$
xy = \int \sin x dx = -\cos x + C
$$
其中 $C$ 是积分常数。

步骤 5：求解 $y$
最后，解出 $y$：
$$
y = \frac{-\cos x + C}{x}
$$