题目

4.设A_(2n-1)=(0,(1)/(n)),A_(2n)=(0,n),n=1,2,….求出集列(A_{n)}的上限集和下限集.

4.设$A_{2n-1}=\left(0,\frac{1}{n}\right)$,$A_{2n}=(0,n)$,n=1,2,….求出集列{A_{n}}的上限集和下限集.

题目解答

答案

设 $A_{2n-1} = \left(0, \frac{1}{n}\right)$，$A_{2n} = (0, n)$，$n = 1, 2, \cdots$。 **上限集**： 对于任意 $x > 0$，存在 $N$ 使 $x < N$，则 $x \in A_{2N}$。偶数项 $A_{2n}$ 包含所有正数，故 $x$ 属于无限多个偶数项。奇数项 $A_{2n-1}$ 随 $n$ 增大趋近于空集，$x$ 只属于有限个奇数项。 **结论**：上限集为 $(0, \infty)$。 **下限集**： 对于任意 $x > 0$，存在 $N$ 使 $x > \frac{1}{N}$，则 $x \notin A_{2N-1}$。奇数项 $A_{2n-1}$ 不包含所有正数，故 $x$ 不属于从某项起的所有 $A_n$。 **结论**：下限集为 $\emptyset$。 **答案**：$\boxed{(0, \infty), \emptyset}$

解析

考查要点：本题主要考查集列的上限集和下限集的概念，需要结合奇数项和偶数项的特性进行分析。

解题核心思路：

  1. 上限集：判断每个正实数$x$是否属于无限多个$A_n$。由于偶数项$A_{2n}=(0,n)$覆盖的范围无限扩大，所有$x>0$都会被无限多个偶数项包含。
  2. 下限集：判断是否存在某个$N$，使得所有$n \geq N$时$x \in A_n$。奇数项$A_{2n-1}=(0,1/n)$的范围逐渐缩小，无法满足所有后续集合都包含$x>0$。

破题关键点：

  • 偶数项的无限覆盖性：$A_{2n}$包含所有大于0且小于任意大的数，导致上限集为$(0,+\infty)$。
  • 奇数项的排他性：$A_{2n-1}$的范围随$n$增大趋近于空集，导致下限集为空集。

上限集分析

  1. 偶数项的覆盖性：对于任意$x>0$，存在$N=\lceil x \rceil +1$，当$n \geq N$时，$A_{2n}=(0,n)$必然包含$x$，因此$x$属于无限多个偶数项。
  2. 奇数项的有限性：奇数项$A_{2n-1}=(0,1/n)$的上界$\frac{1}{n}$随$n$增大趋近于0，因此$x>0$最多属于有限个奇数项。
  3. 综合结论：由于$x$属于无限多个偶数项，故$x$属于上限集。

下限集分析

  1. 奇数项的排他性：对于任意$x>0$，存在$N=\lceil \frac{1}{x} \rceil +1$，当$n \geq N$时，$A_{2n-1}=(0,1/n)$的上界$\frac{1}{n} < x$，因此$x \notin A_{2n-1}$。
  2. 偶数项的矛盾性：虽然偶数项$A_{2n}$包含$x$，但奇数项的排他性导致无法满足“所有后续集合都包含$x$”。
  3. 综合结论：不存在满足条件的$x$，故下限集为空集。