题目
在初等函数中,定义域取不到的点就是间断点。A. 对B. 错
在初等函数中,定义域取不到的点就是间断点。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
本题考查初等函数间断点的定义及相关概念。解题的关键在于明确间断点的严格定义,并分析定义域取不到的点与间断点之间的关系。
根据间断点的定义:设函数$y = f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内有定义,如果函数$f(x)$有下列三种情形之一:
- 在$x = x_0$没有定义;
- 虽在$x = x_0$有定义,但$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$不存在;
- 虽在$x = x_0$有定义,且$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$存在,但$\lim\limits_{x \to x_0}f(x) \neq f(x_0)$;
则函数$f(x)$在点$x_0$为不连续,而点$x_0$称为函数$f(x)$的间断点。
对于初等函数,定义域取不到的点并不一定就是间断点。例如,函数$f(x)=\frac{\sin x}{x}$,它是一个初等函数,在$x = 0$处没有定义,即定义域取不到$x = 0$。但是$\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$,如果补充定义$f(0)=1$,函数在$x = 0$处就连续了。所以仅定义域取不到的点不能直接判定为间断点。