【题目】-|||-求数项级数 sum _(n=0)^infty dfrac ({(-1))^n((n)^2-n+1)}({2)^n} 的和.

本题考查数项级数求和，解题思路是先构造一个幂级数，求出该幂级数的和函数，再将特定的值代入和函数来得到原数项级数的和。

1. 构造幂级数并求收敛半径：
   设$S(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}(n^{2}-n + 1)x^{n}$，对于幂级数$\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}x^{n}$，其收敛半径$R=\lim_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}|$，这里$a_{n}=n^{2}-n + 1$，$a_{n+1}=(n + 1)^{2}-(n + 1)+1=n^{2}+n + 1$。
   则$R=\lim_{n\rightarrow\infty}|\frac{n^{2}-n + 1}{n^{2}+n + 1}|$，分子分母同时除以$n^{2}$可得：
   $R=\lim_{n\rightarrow\infty}|\frac{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}| = 1$
   所以幂级数$S(x)$的收敛区间为$(-1,1)$。
2. 对幂级数进行拆分和变形：
   $S(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}(n^{2}-n + 1)x^{n}=\sum_{n = 0}^{\infty}n(n - 1)x^{n}+\sum_{n = 0}^{\infty}x^{n}$
   • 对于$\sum_{n = 0}^{\infty}x^{n}$，根据等比级数求和公式$\sum_{n = 0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1 - x}$，$x\in(-1,1)$。
   • 对于$\sum_{n = 0}^{\infty}n(n - 1)x^{n}$，先考虑$\sum_{n = 0}^{\infty}x^{n+2}=x^{2}\sum_{n = 0}^{\infty}x^{n}=\frac{x^{2}}{1 - x}$，$x\in(-1,1)$。
     对$\sum_{n = 0}^{\infty}x^{n+2}$求二阶导数：
     $(\sum_{n = 0}^{\infty}x^{n+2})''=(\frac{x^{2}}{1 - x})''$
     先对$\frac{x^{2}}{1 - x}$求一阶导数，根据除法求导公式$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}$，其中$u = x^{2}$，$u^\prime=2x$，$v = 1 - x$，$v^\prime=-1$，则$(\frac{x^{2}}{1 - x})^\prime=\frac{2x(1 - x)+x^{2}}{(1 - x)^{2}}=\frac{2x-2x^{2}+x^{2}}{(1 - x)^{2}}=\frac{2x - x^{2}}{(1 - x)^{2}}$。
     再求二阶导数：
     $(\frac{2x - x^{2}}{(1 - x)^{2}})^\prime=\frac{(2 - 2x)(1 - x)^{2}+2(1 - x)(2x - x^{2})}{(1 - x)^{4}}=\frac{2(1 - x)^{3}+2(1 - x)(2x - x^{2})}{(1 - x)^{4}}=\frac{2(1 - x)^{2}+2(2x - x^{2})}{(1 - x)^{3}}=\frac{2(1 - 2x+x^{2})+4x - 2x^{2}}{(1 - x)^{3}}=\frac{2 - 4x + 2x^{2}+4x - 2x^{2}}{(1 - x)^{3}}=\frac{2}{(1 - x)^{3}}$
     所以$\sum_{n = 0}^{\infty}n(n - 1)x^{n}=\frac{2x^{2}}{(1 - x)^{3}}$，$x\in(-1,1)$。
3. 求出$S(x)$的表达式：
   $S(x)=\frac{2x^{2}}{(1 - x)^{3}}+\frac{1}{1 - x}=\frac{2x^{2}+(1 - x)^{2}}{(1 - x)^{3}}=\frac{2x^{2}+1 - 2x+x^{2}}{(1 - x)^{3}}=\frac{3x^{2}-2x + 1}{(1 - x)^{3}}$，$x\in(-1,1)$。
4. 求原数项级数的和：
   原数项级数$\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(n^{2}-n + 1)}{2^{n}}=S(-\frac{1}{2})$
   将$x = -\frac{1}{2}$代入$S(x)$可得：
   $S(-\frac{1}{2})=\frac{3\times(-\frac{1}{2})^{2}-2\times(-\frac{1}{2})+1}{(1-(-\frac{1}{2}))^{3}}=\frac{3\times\frac{1}{4}+1 + 1}{(\frac{3}{2})^{3}}=\frac{\frac{3}{4}+2}{\frac{27}{8}}=\frac{\frac{11}{4}}{\frac{27}{8}}=\frac{11}{4}\times\frac{8}{27}=\frac{22}{27}$