题目

2.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性:-|||-(1) sum _(n=1)^infty (sqrt (n+1)-sqrt (n));

题目解答

答案

解析

本题考查级数收敛与发散的定义。解题思路是先根据级数收敛与发散的定义，明确需要求出该级数的部分和$S_n$，再求$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_n$，若极限存在，则级数收敛；若极限不存在（为无穷大），则级数发散。

  1. 求级数的部分和$S_n$：
    已知级数$\sum _{n=1}^{\infty }(\sqrt {n+1}-\sqrt {n})$，其部分和$S_n$为前$n$项的和，即$S_n = (\sqrt {2}-1)+(\sqrt {3}-\sqrt {2})+\cdots +(\sqrt {n+1}-\sqrt {n})$。
    观察发现相邻两项可以相互抵消，$-1$保留，最后剩下$\sqrt{n + 1}$，所以$S_n=\sqrt {n+1}-1$。
  2. 求$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_n$：
    对$S_n=\sqrt {n+1}-1$求$n$趋于无穷大时的极限，即$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt {n+1}-1)$。
    根据极限的运算法则$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_n - b_n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n - \lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n$，可得$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt {n+1}-1)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt {n+1}-\lim\limits_{n\rightarrow\infty}1$。
    因为$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}1 = 1$，当$n\rightarrow\infty$时，$n + 1\rightarrow\infty$，那么$\sqrt{n + 1}\rightarrow\infty$，所以$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt {n+1}=\infty$，则$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_n=\infty - 1=\infty$。
  3. 根据定义判断级数的收敛性：
    由于$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_n=\infty$，极限不存在，根据级数收敛与发散的定义可知，级数$\sum _{n=1}^{\infty }(\sqrt {n+1}-\sqrt {n})$发散。