题目

一个班的学生参加了语文、英语和数学竞赛中的至少一项，已知参加语文竞赛的学生占全班总人数的(1)/(4)，不参加语文竞赛的人中，只参加一项竞赛的人数与两项竞赛都参加的人数之比为3:2，只参加语文竞赛的人数占只参加一项竞赛人数的(1)/(4)，若参加不止一项竞赛的有32人，则这个班共有多少名学生？A. 60B. 76C. 80D. 92

一个班的学生参加了语文、英语和数学竞赛中的至少一项，已知参加语文竞赛的学生占全班总人数的$\frac{1}{4}$，不参加语文竞赛的人中，只参加一项竞赛的人数与两项竞赛都参加的人数之比为$3:2$，只参加语文竞赛的人数占只参加一项竞赛人数的$\frac{1}{4}$，若参加不止一项竞赛的有32人，则这个班共有多少名学生？ A. 60 B. 76 C. 80 D. 92

题目解答

答案

我们来一步一步分析并解这道题。

题目信息整理：

设全班共有 $ x $ 名学生。

已知：

  1. 参加语文竞赛的学生占全班的 $ \frac{1}{4} $，即参加语文的人数为 $ \frac{1}{4}x $。

  2. 在不参加语文竞赛的学生中，只参加一项竞赛的人数与参加两项竞赛的人数之比为 $ 3:2 $。

  3. 只参加语文竞赛的人数，占所有只参加一项竞赛的人数的 $ \frac{1}{4} $。

  4. 参加不止一项竞赛（即参加两项或三项）的总人数为 32 人。

  5. 每个学生至少参加一项竞赛。

我们用集合的思想来分析，设：

  • 总人数：$ x $

  • 参加语文的人数：$ \frac{1}{4}x $

  • 不参加语文的人数：$ x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x $

第一步：分析不参加语文的学生

不参加语文的学生有 $ \frac{3}{4}x $ 人。

这些学生只参加了英语和/或数学竞赛。

题目说：在这些不参加语文的学生中，

> 只参加一项竞赛的人数 : 参加两项竞赛的人数 = $ 3:2 $

注意：他们没参加语文，所以只能参加英语和数学。

所以：

  • 只参加英语（且不参加语文、数学？不对，数学可以参加）——等等，注意：

他们不参加语文，但可以参加英语和/或数学。

所以：

  • 只参加一项：只参加英语，或只参加数学。

  • 参加两项：同时参加英语和数学（因为语文没参加）。

注意：题目中说“参加两项竞赛都参加的人数”，结合上下文，应理解为“参加两项竞赛的人数”。

所以，在不参加语文的学生中：

设：

  • 只参加一项（英语或数学）的人数为 $ 3k $

  • 参加两项（英语和数学）的人数为 $ 2k $

则不参加语文的总人数为：

$3k + 2k = 5k = \frac{3}{4}x \Rightarrow x = \frac{5k \times 4}{3} = \frac{20k}{3}$

所以 $ x = \frac{20k}{3} $，说明 $ k $ 必须是 3 的倍数，才能让 $ x $ 是整数。

记下这个：$ x = \frac{20k}{3} $ ——（1）

第二步：分析“只参加语文”的人数

题目说：

> 只参加语文竞赛的人数占只参加一项竞赛总人数的 $ \frac{1}{4} $

我们设：

  • 所有只参加一项竞赛的人数为 $ A $

则：只参加语文的人数为 $ \frac{1}{4}A $

那么，只参加英语或只参加数学的人数（即不参加语文但只参加一项的）为 $ A - \frac{1}{4}A = \frac{3}{4}A $

但是前面我们已经知道：在不参加语文的学生中，只参加一项的人数是 $ 3k $

所以：

$\frac{3}{4}A = 3k \Rightarrow A = 4k$

于是：

  • 所有只参加一项竞赛的人数：$ A = 4k $

  • 只参加语文的人数：$ \frac{1}{4} \times 4k = k $

第三步：分析参加语文的总人数

参加语文的人数为 $ \frac{1}{4}x $

这些人包括：

  • 只参加语文的：$ k $

  • 参加语文 + 一项其他（英语或数学）的

  • 参加语文 + 两项其他（即三项都参加）的

即：参加语文的人 = 只参加语文 + 参加语文和至少一项其他

我们暂时设：

  • 参加语文和英语但不参加数学的：$ a $

  • 参加语文和数学但不参加英语的：$ b $

  • 参加语文、英语、数学三项的：$ c $

那么，参加语文的总人数为：

$k + a + b + c = \frac{1}{4}x \quad \text{（2）}$

第四步：分析“参加不止一项竞赛”的总人数

题目说：参加不止一项竞赛的有 32 人。

参加不止一项 = 参加两项或三项。

包括：

  1. 只参加英语和数学的（不参加语文）：前面是 $ 2k $

  2. 参加语文和英语但不参加数学的：$ a $

  3. 参加语文和数学但不参加英语的：$ b $

  4. 参加三项的：$ c $

所以总人数为：

$2k + a + b + c = 32 \quad \text{（3）}$

第五步：联立方程

从（2）：
$ k + a + b + c = \frac{1}{4}x $

从（3）：
$ a + b + c = 32 - 2k $

代入（2）：

$k + (32 - 2k) = \frac{1}{4}x \Rightarrow 32 - k = \frac{1}{4}x \Rightarrow x = 4(32 - k) = 128 - 4k \quad \text{（4）}$

但我们之前从不参加语文的人数得到：

$x = \frac{20k}{3} \quad \text{（1）}$

现在把（1）和（4）联立：

$\frac{20k}{3} = 128 - 4k$

两边乘以 3：

$20k = 384 - 12k \Rightarrow 20k + 12k = 384 \Rightarrow 32k = 384 \Rightarrow k = 12$

代入（1）求 $ x $：

$x = \frac{20 \times 12}{3} = \frac{240}{3} = 80$

或代入（4）验证：

$x = 128 - 4 \times 12 = 128 - 48 = 80$

一致。

验证所有条件是否满足

总人数 $ x = 80 $

  1. 参加语文的人数：$ \frac{1}{4} \times 80 = 20 $

  2. 不参加语文的人数：$ 80 - 20 = 60 = \frac{3}{4} \times 80 $，正确。

    在这60人中：

    • 只参加一项：$ 3k = 36 $

    • 参加两项（英+数）：$ 2k = 24 $

    合计：$ 36 + 24 = 60 $，正确。

  3. 所有只参加一项竞赛的人数：$ A = 4k = 48 $

    其中：

    • 只参加语文：$ k = 12 $

    • 只参加英语或数学：36（与上面一致）

    所以只参加语文占 $ \frac{12}{48} = \frac{1}{4} $，正确。

  4. 参加不止一项竞赛的总人数：

    • 英+数（不参加语文）：24

    • 参加语文和至少一项其他：$ a + b + c $

      从前面：$ a + b + c = 32 - 2k = 32 - 24 = 8 $

    所以总参加不止一项：$ 24 + 8 = 32 $，正确。

  5. 参加语文的总人数：

    • 只参加语文：12

    • 参加语文+其他：8

    合计：$ 12 + 8 = 20 $，与 $ \frac{1}{4} \times 80 = 20 $ 一致。

所有条件都满足。

答案：

这个班共有 $ \boxed{80} $ 名学生。

正确选项是：C. 80 ✅

答：C. 80