题目

3、已知X的概率密度为f_(x)(x)=}(1)/(2)e^-(x)/(2),&x>0,0,&xleq0,X,Y相互独立，则E(XY)=____.

3、已知X的概率密度为$f_{x}(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}},&x>0,\\0,&x\leq0,\end{cases}Y$的概率密度为$f_{y}(x)=\begin{cases}8e^{-8x},&x>0,\\0,&x\leq0,\end{cases}X,Y$相互独立，则E(XY)=____.

题目解答

答案

已知 $X$ 和 $Y$ 独立，且概率密度函数分别为：
$f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}, & x > 0, \\ 0, & x \leq 0, \end{cases}$
$f_Y(y) = \begin{cases} 8e^{-8y}, & y > 0, \\ 0, & y \leq 0. \end{cases}$
由指数分布的期望公式 $E(Z) = \frac{1}{\lambda}$，得：

  • $E(X) = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$，
  • $E(Y) = \frac{1}{8}$。
    由于 $X$ 和 $Y$ 独立，$E(XY) = E(X)E(Y) = 2 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$。

答案： $\boxed{\frac{1}{4}}$