题目
16.曲线 =dfrac (arctan x)(x(x-2)) 的垂直渐近线为-|||-A. x=0 B. x=2-|||-C. x=0 和 x=2 D.不存在
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的定义域
函数 $y=\dfrac {\arctan x}{x(x-2)}$ 的定义域为 $x \neq 0$ 和 $x \neq 2$，因为分母不能为零。
步骤 2：检查 $x=0$ 处的极限
计算 $\lim_{x \to 0} \dfrac {\arctan x}{x(x-2)}$，由于 $\arctan x$ 在 $x=0$ 处的极限为 $0$，而分母 $x(x-2)$ 在 $x=0$ 处的极限也为 $0$，因此需要使用洛必达法则。
$$\lim_{x \to 0} \dfrac {\arctan x}{x(x-2)} = \lim_{x \to 0} \dfrac {\frac{1}{1+x^2}}{2x-2} = \lim_{x \to 0} \dfrac {1}{(1+x^2)(2x-2)} = -\frac{1}{2}$$
因此，$x=0$ 不是垂直渐近线。
步骤 3：检查 $x=2$ 处的极限
计算 $\lim_{x \to 2} \dfrac {\arctan x}{x(x-2)}$，由于 $\arctan x$ 在 $x=2$ 处的极限为 $\arctan 2$，而分母 $x(x-2)$ 在 $x=2$ 处的极限为 $0$，因此极限为无穷大。
$$\lim_{x \to 2} \dfrac {\arctan x}{x(x-2)} = \infty$$
因此，$x=2$ 是垂直渐近线。
函数 $y=\dfrac {\arctan x}{x(x-2)}$ 的定义域为 $x \neq 0$ 和 $x \neq 2$，因为分母不能为零。
步骤 2：检查 $x=0$ 处的极限
计算 $\lim_{x \to 0} \dfrac {\arctan x}{x(x-2)}$，由于 $\arctan x$ 在 $x=0$ 处的极限为 $0$，而分母 $x(x-2)$ 在 $x=0$ 处的极限也为 $0$，因此需要使用洛必达法则。
$$\lim_{x \to 0} \dfrac {\arctan x}{x(x-2)} = \lim_{x \to 0} \dfrac {\frac{1}{1+x^2}}{2x-2} = \lim_{x \to 0} \dfrac {1}{(1+x^2)(2x-2)} = -\frac{1}{2}$$
因此，$x=0$ 不是垂直渐近线。
步骤 3：检查 $x=2$ 处的极限
计算 $\lim_{x \to 2} \dfrac {\arctan x}{x(x-2)}$，由于 $\arctan x$ 在 $x=2$ 处的极限为 $\arctan 2$，而分母 $x(x-2)$ 在 $x=2$ 处的极限为 $0$，因此极限为无穷大。
$$\lim_{x \to 2} \dfrac {\arctan x}{x(x-2)} = \infty$$
因此，$x=2$ 是垂直渐近线。