如图所示，固定光滑平行轨道abcd的水平部分处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中，bc段轨道宽度为2d，cd段轨道宽度为d，bc段轨道和cd段轨道均足够长，将质量分别为2m、m，有效电阻分别为2R、R的金属棒P和Q分别置于轨道上的ab段和cd段，且均与轨道垂直，金属棒Q原来处于静止状态。现让金属棒P从距水平轨道高为h处无初速度释放，两金属棒运动过程中始终与导轨接触良好且与导轨垂直，不计其他电阻及空气阻力，重力加速度大小为g，求：(1)金属棒Q的最大加速度a_(m)；(2)回路中产生的总焦耳热Q_(m)；(3)两金属棒距离最近时两导轨间的电压U。A-|||-a P B-|||-h Q-|||--------- b d

步骤 1：金属棒P的初始速度
金属棒P从高度$h$处无初速度释放，根据动能定理，金属棒P进入磁场时的速度$v_0$为：
$$
mgh = \frac{1}{2} \cdot 2m \cdot v_0^2
$$
解得：
$$
v_0 = \sqrt{2gh}
$$
步骤 2：金属棒Q的最大加速度
金属棒P进入磁场时，回路中的电流最大，感应电动势$E$为：
$$
E = 2Bdv_0
$$
回路中的电流强度$I$为：
$$
I = \frac{E}{2R + R} = \frac{2Bdv_0}{3R}
$$
金属棒Q受到的安培力$F$为：
$$
F = BId = \frac{2B^2d^2v_0}{3R}
$$
金属棒Q的最大加速度$a_m$为：
$$
a_m = \frac{F}{m} = \frac{2B^2d^2v_0}{3mR}
$$
步骤 3：回路中产生的总焦耳热
当金属棒P进入水平轨道后，切割磁感线产生感应电流。金属棒P受到安培力作用而减速，金属棒Q受到安培力而加速，金属棒Q运动后也将产生感应电动势，与金属棒P感应电动势反向，因此回路中的电流将减小，最终达到匀速运动时，回路的电流为零。
所以最终：$E_P = E_Q$，即$2Bdv_P = Bdv_Q$，解得：$v_Q = 2v_P$。
设金属棒P从进入水平轨道开始到速度稳定所用的时间为$\Delta t$，取向右为正方向，对金属棒P、Q分别应用动量定理得：
对金属棒P：$-F_P\Delta t = -2Bd\Delta t = 2mv_P - 2mv_0$
对金属棒Q：$F_Q\Delta t = Bd\Delta t = mv_Q - 0$
联立解得：$v_P = \frac{1}{3}\sqrt{2gh}$，$v_Q = \frac{2}{3}\sqrt{2gh}$
对整个系统，由能量守恒定律得：$2mgh = \frac{1}{2} \cdot 2m \cdot v_P^2 + \frac{1}{2}m \cdot v_Q^2 + Q$
解得：$Q = mgh$
步骤 4：两金属棒距离最近时两导轨间的电压
当两金属棒的速度相等时相距最近，设经过的时间为$\Delta t'$，取向右为正方向，对金属棒P、Q分别应用动量定理得：
对金属棒P：$-2Bd\Delta t' = 2mv_P' - 2mv_0$
对金属棒Q：$Bd\Delta t' = mv_Q' - 0$
解得：$v_P' = v_Q' = \frac{1}{2}\sqrt{2gh}$
回路中的感应电动势为：$E' = B \cdot 2dv_P' - Bdv_Q' = \frac{1}{2}Bd\sqrt{2gh}$
感应电流：$I' = \frac{E'}{2R + R} = \frac{1}{6}Bd\sqrt{2gh}$
两金属棒距离最近时两导轨间的电压$U$为：
$$
U = I'R + Bdv_Q' = \frac{1}{6}Bd\sqrt{2gh} \cdot R + Bdv_Q' = \frac{1}{6}Bd\sqrt{2gh} \cdot R + \frac{1}{2}Bd\sqrt{2gh} = \frac{2}{3}Bd\sqrt{2gh}
$$