题目
4.填空题设某种型号电子元件的寿命X(以小时计)具有以下的概率密度f(x)=}(1000)/(x^2),&xgeq10000,&(其他)现有一大批此种元件，(设各元件工作相互独立)，则任取一只，其寿命大于1500小时的概率是____
4.填空题
设某种型号电子元件的寿命X(以小时计)具有以下的概率密度
$f(x)=\begin{cases}\frac{1000}{x^{2}},&x\geq1000\\0,&\text{其他}\end{cases}$
现有一大批此种元件，(设各元件工作相互独立)，则任取一只，其寿命大于1500小时的概率是____
题目解答
答案
为了求出任取一只电子元件的寿命大于1500小时的概率，我们需要计算概率密度函数 $ f(x) $ 在 $ x \geq 1500 $ 时的积分。概率密度函数 $ f(x) $ 给定为：
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1000}{x^2}, & x \geq 1000 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \]
我们感兴趣的是 $ P(X > 1500) $，这可以表示为：
\[ P(X > 1500) = \int_{1500}^{\infty} f(x) \, dx \]
由于 $ f(x) = \frac{1000}{x^2} $ 对于 $ x \geq 1000 $，我们将 $ f(x) $ 代入积分：
\[ P(X > 1500) = \int_{1500}^{\infty} \frac{1000}{x^2} \, dx \]
为了解这个积分，我们使用 $ \frac{1}{x^2} $ 的反导数，即 $ -\frac{1}{x} $：
\[ \int_{1500}^{\infty} \frac{1000}{x^2} \, dx = 1000 \int_{1500}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx = 1000 \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1500}^{\infty} \]
在积分的极限处计算反导数，我们得到：
\[ 1000 \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1500}^{\infty} = 1000 \left( -\frac{1}{\infty} + \frac{1}{1500} \right) = 1000 \left( 0 + \frac{1}{1500} \right) = 1000 \cdot \frac{1}{1500} = \frac{1000}{1500} = \frac{2}{3} \]
因此，任取一只电子元件的寿命大于1500小时的概率是：
\[ \boxed{\frac{2}{3}} \]
解析
步骤 1：确定概率密度函数
给定的概率密度函数为： \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1000}{x^2}, & x \geq 1000 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \] 我们需要计算 $ P(X > 1500) $，即寿命大于1500小时的概率。
步骤 2：计算概率
概率 $ P(X > 1500) $ 可以通过积分概率密度函数 $ f(x) $ 来计算： \[ P(X > 1500) = \int_{1500}^{\infty} f(x) \, dx \] 代入 $ f(x) = \frac{1000}{x^2} $： \[ P(X > 1500) = \int_{1500}^{\infty} \frac{1000}{x^2} \, dx \] 使用 $ \frac{1}{x^2} $ 的反导数 $ -\frac{1}{x} $： \[ \int_{1500}^{\infty} \frac{1000}{x^2} \, dx = 1000 \int_{1500}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx = 1000 \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1500}^{\infty} \] 计算积分的极限： \[ 1000 \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1500}^{\infty} = 1000 \left( -\frac{1}{\infty} + \frac{1}{1500} \right) = 1000 \left( 0 + \frac{1}{1500} \right) = 1000 \cdot \frac{1}{1500} = \frac{1000}{1500} = \frac{2}{3} \]
给定的概率密度函数为： \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1000}{x^2}, & x \geq 1000 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \] 我们需要计算 $ P(X > 1500) $，即寿命大于1500小时的概率。
步骤 2：计算概率
概率 $ P(X > 1500) $ 可以通过积分概率密度函数 $ f(x) $ 来计算： \[ P(X > 1500) = \int_{1500}^{\infty} f(x) \, dx \] 代入 $ f(x) = \frac{1000}{x^2} $： \[ P(X > 1500) = \int_{1500}^{\infty} \frac{1000}{x^2} \, dx \] 使用 $ \frac{1}{x^2} $ 的反导数 $ -\frac{1}{x} $： \[ \int_{1500}^{\infty} \frac{1000}{x^2} \, dx = 1000 \int_{1500}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx = 1000 \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1500}^{\infty} \] 计算积分的极限： \[ 1000 \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1500}^{\infty} = 1000 \left( -\frac{1}{\infty} + \frac{1}{1500} \right) = 1000 \left( 0 + \frac{1}{1500} \right) = 1000 \cdot \frac{1}{1500} = \frac{1000}{1500} = \frac{2}{3} \]