题目
设f(x)= ^2),xneq 0 0,x=0 .则f(x)在点x=0处()A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导
设
则f(x)在点x=0处()
A.极限不存在
B.极限存在但不连续
C.连续但不可导
D.可导
题目解答
答案
1. 当
时，我们注意到：
因为
。
根据夹逼定理，我们有：
2. 由于f(0) = 0，所以f(x)在点x=0处的极限是0，因此函数在该点连续。
3. 考虑函数在点x=0处的导数，我们使用导数的定义：
由于
的值在-1到1之间变化，且没有固定的趋势，因此这个极限不存在。
因此，f(x)在点x=0处不可导。
所以答案是 C. 连续但不可导。
解析
步骤 1：确定函数在x=0处的极限
我们注意到，当$x\neq 0$时，有$-|x|\leqslant x\cos \dfrac {1}{{x}^{2}}\leqslant |x|$。根据夹逼定理，可以得出$\lim _{x\rightarrow 0}x\cos \dfrac {1}{{x}^{2}}=0$。
步骤 2：判断函数在x=0处的连续性
由于$f(0) = 0$，且$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=0$，所以函数在x=0处连续。
步骤 3：判断函数在x=0处的可导性
考虑函数在x=0处的导数，我们使用导数的定义：$f'(0)=\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(h)-f(0)}{h}=\lim _{h\rightarrow 0}h\cos \dfrac {1}{{h}^{2}}$。由于$\cos \dfrac {1}{{h}^{2}}$的值在-1到1之间变化，且没有固定的趋势，因此这个极限不存在。因此，f(x)在点x=0处不可导。
我们注意到，当$x\neq 0$时，有$-|x|\leqslant x\cos \dfrac {1}{{x}^{2}}\leqslant |x|$。根据夹逼定理，可以得出$\lim _{x\rightarrow 0}x\cos \dfrac {1}{{x}^{2}}=0$。
步骤 2：判断函数在x=0处的连续性
由于$f(0) = 0$，且$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=0$，所以函数在x=0处连续。
步骤 3：判断函数在x=0处的可导性
考虑函数在x=0处的导数，我们使用导数的定义：$f'(0)=\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(h)-f(0)}{h}=\lim _{h\rightarrow 0}h\cos \dfrac {1}{{h}^{2}}$。由于$\cos \dfrac {1}{{h}^{2}}$的值在-1到1之间变化，且没有固定的趋势，因此这个极限不存在。因此，f(x)在点x=0处不可导。