13.函数(x)=xsin ((x)^2+1)的一个原函数(x)=xsin ((x)^2+1).A.(x)=xsin ((x)^2+1)B.(x)=xsin ((x)^2+1)C.(x)=xsin ((x)^2+1)D.(x)=xsin ((x)^2+1)

步骤 1：确定原函数的定义
原函数是指一个函数的导数等于给定函数。即如果$F(x)$是$f(x)$的原函数，则$F'(x) = f(x)$。

步骤 2：计算每个选项的导数
A. $F(x) = -\cos ({x}^{2}+1)$
$F'(x) = -1\cdot [ \cos ({x}^{2}+1)] '\cdot ({x}^{2}+1)' = (-1)\cdot [ -\sin ({x}^{2}+1)] \cdot 2x = 2x\sin ({x}^{2}+1)$
B. $F(x) = \cos ({x}^{2}+1)$
$F'(x) = [ \cos ({x}^{2}+1)] '\cdot ({x}^{2}+1)' = -\sin ({x}^{2}+1)\cdot 2x = -2x\sin ({x}^{2}+1)$
C. $F(x) = -\dfrac {1}{2}\cos ({x}^{2}+1)$
$F'(x) = -\dfrac {1}{2}\cdot [ \cos ({x}^{2}+1)] '\cdot ({x}^{2}+1)' = -\dfrac {1}{2}\cdot [ -\sin ({x}^{2}+1)] \cdot 2x = x\cdot \sin ({x}^{2}+1)$
D. $F(x) = \dfrac {1}{2}\cos ({x}^{2}+1)$
$F'(x) = \dfrac {1}{2}\cdot [ \cos ({x}^{2}+1)] '\cdot ({x}^{2}+1)' = \dfrac {1}{2}\cdot [ -\sin ({x}^{2}+1)] \cdot 2x = -x\sin ({x}^{2}+1)$

步骤 3：比较导数与给定函数
比较每个选项的导数与给定函数$f(x) = x\sin ({x}^{2}+1)$，可以发现选项C的导数与给定函数相等。