3.设离散型随机变量X的分布律为PX=k=blambda^k(k=1,2,3,...)，且b>0，则（）.A. λ为任意实数B. λ=b+1C. λ=(1)/(1+b)D. λ=(1)/(b-1)

考查要点：本题主要考查离散型随机变量分布律的性质，即概率和为1的条件，以及等比级数求和公式的应用。

解题核心思路：

1. 概率和为1：所有可能取值的概率之和必须等于1。
2. 等比级数求和：将分布律表示为等比数列求和形式，利用公式求和。
3. 解方程求参数：通过等比级数和为1的条件，解出参数λ的表达式。

破题关键点：

• 识别等比数列结构：分布律形式为$b\lambda^k$，公比为$\lambda$。
• 收敛条件：等比级数收敛要求$|\lambda| < 1$，但本题未直接涉及该条件，需注意选项是否隐含违背此条件。

根据分布律的性质，所有概率之和为1：
$\sum_{k=1}^{\infty} P\{X=k\} = \sum_{k=1}^{\infty} b\lambda^k = 1.$

步骤1：等比级数求和
该级数是首项为$b\lambda$、公比为$\lambda$的等比数列，其和为：
$\sum_{k=1}^{\infty} b\lambda^k = b\lambda \cdot \frac{1}{1-\lambda} \quad (\text{当} \ |\lambda| < 1).$

步骤2：建立方程
根据概率和为1的条件：
$\frac{b\lambda}{1-\lambda} = 1.$

步骤3：解方程求λ
整理方程：
$b\lambda = 1 - \lambda \implies \lambda(b + 1) = 1 \implies \lambda = \frac{1}{b + 1}.$

验证选项：

• 选项C：$\lambda = \frac{1}{1+b}$，与解一致。
• 其他选项：
  • A：λ任意实数，但需满足$|\lambda| < 1$，错误。
  • B：λ = b + 1，若b > 0，则λ > 1，导致级数发散，错误。
  • D：λ = $\frac{1}{b-1}$，当b ≤ 1时分母非正或导致λ ≥ 1，错误。