14-20 两艘飞船相向运动,它们相对地面的速率都是v.在A船中有一根-|||-米尺,米尺顺着飞船的运动方向放置.问B船中的观察者测得该米尺的长度是-|||-多少?

考查要点：本题主要考查狭义相对论中的速度变换公式和长度收缩效应的应用。关键在于正确确定米尺相对于观察者（B船）的速度，再代入长度收缩公式计算。

解题思路：

1. 确定参考系：以地面为S系，B船为S'系，A船和B船相对地面的速度均为$v$，但方向相反。
2. 速度变换：利用相对论速度变换公式，计算A船相对于B船的速度$v_{12}$。
3. 长度收缩公式：将$v_{12}$代入公式$L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v_{12}^2}{c^2}}$，其中$L_0 = 1\ \text{m}$为米尺静止时的长度。

破题关键：正确应用速度变换公式，避免符号错误，并对最终表达式进行化简。

步骤1：确定参考系与速度关系

• 设地面为S系，A船速度为$v$，B船速度为$-v$（相向而行）。
• B船为S'系，其速度为$u = -v$（相对于S系）。

步骤2：计算A船相对于B船的速度

根据相对论速度变换公式：
$u'_x = \frac{v_x - u}{1 - \frac{v_x u}{c^2}}$
代入$v_x = v$（A船在S系的速度），$u = -v$（S'系速度）：
$u'_x = \frac{v - (-v)}{1 - \frac{v(-v)}{c^2}} = \frac{2v}{1 + \frac{v^2}{c^2}}$
即A船相对于B船的速度为：
$v_{12} = \frac{2v}{1 + \frac{v^2}{c^2}}$

步骤3：应用长度收缩公式

米尺在A船中静止，长度$L_0 = 1\ \text{m}$。B船中观察到的长度为：
$L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v_{12}^2}{c^2}}$
将$v_{12}$代入：
$L = \sqrt{1 - \frac{\left( \frac{2v}{1 + \frac{v^2}{c^2}} \right)^2}{c^2}} = \sqrt{1 - \frac{4v^2}{c^2 \left( 1 + \frac{v^2}{c^2} \right)^2}}$

步骤4：化简表达式

分子分母同乘$c^2$并展开：
$L = \sqrt{\frac{c^2 \left( 1 + \frac{v^2}{c^2} \right)^2 - 4v^2}{c^2 \left( 1 + \frac{v^2}{c^2} \right)^2}} = \sqrt{\frac{(c^2 - v^2)^2}{(c^2 + v^2)^2}} = \frac{c^2 - v^2}{c^2 + v^2}$