题目
6.求y=x^2,y=2-x^2所围成图形的面积和绕x轴旋转一周的体积。
6.求$y=x^{2},y=2-x^{2}$所围成图形的面积和绕x轴旋转一周的体积。
题目解答
答案
1. **求交点**：解方程 $x^2 = 2 - x^2$，得 $x = \pm 1$，交点为 $(-1, 1)$ 和 $(1, 1)$。
2. **计算面积**：
\[
S = \int_{-1}^{1} [(2 - x^2) - x^2] \, dx = 2 \int_{0}^{1} (2 - 2x^2) \, dx = \frac{8}{3}
\]
3. **计算体积**：
\[
V = \pi \int_{-1}^{1} [(2 - x^2)^2 - (x^2)^2] \, dx = 2\pi \int_{0}^{1} (4 - 4x^2) \, dx = \frac{16\pi}{3}
\]
**答案**：
面积为 $\boxed{\frac{8}{3}}$，体积为 $\boxed{\frac{16\pi}{3}}$。