题目
第四次测验题目：设随机变量（X，Y）在圆域x^2+y^2leq r^2上服从均匀分布，求X和Y的相关系数ρ
第四次测验题目：
设随机变量（X，Y）在圆域$x^{2}+y^{2}\leq r^{2}$上服从均匀分布，求X和Y的相关系数ρ
题目解答
答案
1. **计算期望值**：
由于区域对称，$E(X) = E(Y) = 0$。
2. **计算 $E(XY)$**：
$E(XY) = \iint_{x^2 + y^2 \leq r^2} xy f(x, y) \, dx \, dy = 0$（被积函数为奇函数）。
3. **计算方差**：
$D(X) = E(X^2) = \frac{r^2}{4}$，同理 $D(Y) = \frac{r^2}{4}$。
4. **计算相关系数**：
$\rho_{XY} = \frac{E(XY) - E(X)E(Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} = \frac{0 - 0}{\frac{r^2}{4}} = 0$。
**答案**：
$\boxed{0}$
**注意**：
相关系数为0表示无线性相关，但不独立（联合密度不等于边际密度乘积）。