题目
求函数 (x,y)=(e)^-x(x-(y)^3+3y) 的极值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求偏导数
首先，我们需要求出函数 $f(x,y)={e}^{-x}(x-{y}^{3}+3y)$ 的偏导数 ${f}_{x}$ 和 ${f}_{y}$。
${f}_{x}={e}^{-x}(1-x+{y}^{3}-3y)$
${f}_{y}=-3{e}^{-x}({y}^{2}-1)$
步骤 2：求驻点
令 ${f}_{x}=0$ 和 ${f}_{y}=0$，解得驻点。
${f}_{x}=0$ 得到 $1-x+{y}^{3}-3y=0$
${f}_{y}=0$ 得到 ${y}^{2}-1=0$
解得驻点 ${P}_{1}(-1,1)$ 和 ${P}_{2}(3,-1)$。
步骤 3：求二阶偏导数
求出二阶偏导数 ${f}_{xx}$, ${f}_{xy}$, ${f}_{yy}$。
${f}_{xx}={e}^{-x}(-2+x-{y}^{3}+3y)$
${f}_{xy}=3{e}^{-x}({y}^{2}-1)$
${f}_{yy}=-6y{e}^{-x}$
步骤 4：判断极值点
对于 ${P}_{1}(-1,1)$ 来说，$A={f}_{xx}(-1,1)=-e\lt 0$，$B={f}_{xy}(-1,1)=0$，$C={f}_{yy}(-1,1)=-6e$，$AC-{B}^{2}\gt 0$，故 ${P}_{1}$ 是 $f(x,y)$ 的极大值点，极大值为 $f(-1,1)=e$。
对于 ${P}_{2}(3,-1)$ 来说，$A={f}_{xx}(3,-1)=-{e}^{-3}\lt 0$，$B={f}_{xy}(3,-1)=0$，$C={f}_{yy}(3,-1)=6{e}^{-3}$，$AC-{B}^{2}\lt 0$，故 ${P}_{2}$ 不是极值点。
首先，我们需要求出函数 $f(x,y)={e}^{-x}(x-{y}^{3}+3y)$ 的偏导数 ${f}_{x}$ 和 ${f}_{y}$。
${f}_{x}={e}^{-x}(1-x+{y}^{3}-3y)$
${f}_{y}=-3{e}^{-x}({y}^{2}-1)$
步骤 2：求驻点
令 ${f}_{x}=0$ 和 ${f}_{y}=0$，解得驻点。
${f}_{x}=0$ 得到 $1-x+{y}^{3}-3y=0$
${f}_{y}=0$ 得到 ${y}^{2}-1=0$
解得驻点 ${P}_{1}(-1,1)$ 和 ${P}_{2}(3,-1)$。
步骤 3：求二阶偏导数
求出二阶偏导数 ${f}_{xx}$, ${f}_{xy}$, ${f}_{yy}$。
${f}_{xx}={e}^{-x}(-2+x-{y}^{3}+3y)$
${f}_{xy}=3{e}^{-x}({y}^{2}-1)$
${f}_{yy}=-6y{e}^{-x}$
步骤 4：判断极值点
对于 ${P}_{1}(-1,1)$ 来说，$A={f}_{xx}(-1,1)=-e\lt 0$，$B={f}_{xy}(-1,1)=0$，$C={f}_{yy}(-1,1)=-6e$，$AC-{B}^{2}\gt 0$，故 ${P}_{1}$ 是 $f(x,y)$ 的极大值点，极大值为 $f(-1,1)=e$。
对于 ${P}_{2}(3,-1)$ 来说，$A={f}_{xx}(3,-1)=-{e}^{-3}\lt 0$，$B={f}_{xy}(3,-1)=0$，$C={f}_{yy}(3,-1)=6{e}^{-3}$，$AC-{B}^{2}\lt 0$，故 ${P}_{2}$ 不是极值点。