单选题（共40题，100.0分） 38. (2.5分) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y)=}6x,0le xle yle 1,0,其他 则F(1,(1)/(2))=（）A. 0B. 0.125C. 0.375D. 0.625

本题考查考查二维随机变量分布函数函数的计算。解题思路是根据二维二维随机变量分布函数的定义，通过对对概率密度函数在相应区域上进行二重积分来求解。

根据二维随机变量分布函数的定义，对于二维随机变量$(X,Y)$，其分布函数$CDF) \(F(x,y)$ 定义为：
$F(x,y) = P(X \le x, Y \le y) = \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u,v) \,dv \,du$
其中 $f(u,v)$ 是 $(X,Y)$ 的联合概率密度函数(PDF)。

本题中，我们需要计算 $F(x,y) = (1, \frac{1}{2})$ 时的分布函数值 $F(1, \frac{1}{2}{})$。
$F(1, \frac{1}{2}) = \int_{-\infty}^{1} \int_{-\infty}^{\frac{1}{2}} f(u,v) \,dv \,du$

根据给定的概率密度函数 $f(x,y)$ = \begin{cases} 6x, & 0 \le x \le y \le 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases})，我们需要确定积分区域。
积分区域由 $f(u,v) \neq 0$ 的条件 $u,v$ 范围和积分限共同决定。

1. $f(u,v) \neq 0$ 的条件是 \(0 \le u \le v \le 1。 2. 积分限是 $u$ 从 $-\infty$ 到 1，$v$ 从 $-\infty$ 到 $\frac{1}{2}$。

综合这两个区域的交集是积分的有效区域。我们可以通过画图来确定这个区域：

• 区域1 (由 $f$ 决定): $0 \le u \le v \le 1$，这是一个由点 $(0,0)$，\((0,1) 和 (1,1) 围成的三角形区域。 - 区域2 (由积分限决定): $u \le 1, v \le \frac{1}{2}$，这是一个在直线 $u=1$ 和 $v=\frac{1}{2}$ 左侧和下方的无限区域。

两个区域的交集是满足以下所有条件的点 $(u,v)$ 的集合：
$0 \le u \le v$
$v \le \frac{1}{2}$
$u \le 1$

由于 $v \le \frac{1}{2}$，条件 $u \le 1$ 自动满足。因此，有效的积分区域为：
$0 \le u \le v \le \frac{1}{2}$

现在，我们可以将二重积分写成累次积分的形式：
$F(1, \frac{1}{2}) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( \int_{0}^{v} 6u \,du \right) \,dv$

1. 先计算内层积分（对 $u$ 积分）：
   $\int_{0}^{v} 6u \,du = [3u^2]_{0}^{v} = 3v^2 - 3(0)^2 = 3v^2$

2. 将内层积分的结果代入外层积分（对 $v$ 积分）：
   $F(1, \frac{1}{2}) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} 3v^2 \,dv$

3. 计算外层积分：
   $\int_{0}^{\frac{1}{2}} 3v^2 \,dv = [v^3]_{0}^{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2})^3 - 0^3 = \frac{1}{8}$

4. 计算最终结果：
   $\frac{1}{8} = 0.125$