设A,B,C是同阶方阵,Aneq O.若AB=AC,必有B=C,则A应是()A. 可逆矩阵B. 对称矩阵C. 奇异矩阵D. 不可逆矩阵

考查要点：本题主要考查矩阵方程的性质及矩阵可逆性的应用。
解题核心思路：当矩阵方程$AB=AC$成立时，若要保证$B=C$必然成立，需分析矩阵$A$的性质。关键在于矩阵可逆性的判断：若$A$可逆，则能通过左乘逆矩阵唯一确定解；若$A$不可逆，则可能存在非零解导致$B \neq C$。
破题关键点：

1. 将方程变形为$A(B-C)=O$，分析$B-C=O$的条件。
2. 可逆矩阵的性质：若$A$可逆，则$A(B-C)=O$仅当$B-C=O$时成立。
3. 不可逆矩阵的性质：若$A$不可逆，则存在非零矩阵$B-C$使得$A(B-C)=O$，无法保证$B=C$。

步骤1：方程变形
由$AB=AC$，移项得：
$A(B-C)=O.$

步骤2：分析解的唯一性
若$A$可逆，则对任意矩阵$X$，若$AX=O$，必有$X=O$（因为可逆矩阵左乘后无非零解）。因此：
$A(B-C)=O \implies B-C=O \implies B=C.$

步骤3：排除其他选项

• 对称矩阵（B）：对称性与方程解的唯一性无关。
• 奇异矩阵（C/D）：若$A$不可逆，则存在非零矩阵$B-C$满足$A(B-C)=O$，此时$B \neq C$仍可能成立，与题意矛盾。