题目
设有两个数列 a_n 和 b_n，若 lim_(n to infty) a_n = 0，则有A. 当 sum_(n=1)^infty b_n 收敛时，sum_(n=1)^infty a_n b_n 收敛B. 当 sum_(n=1)^infty b_n 发散时，sum_(n=1)^infty a_n b_n 发散C. 当 sum_(n=1)^infty |b_n| 收敛时，sum_(n=1)^infty |a_n b_n| 收敛D. 当 sum_(n=1)^infty |b_n| 发散时，sum_(n=1)^infty |a_n b_n| 发散
设有两个数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$，若 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，则有
A. 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收敛
B. 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 发散
C. 当 $\sum_{n=1}^{\infty} |b_n|$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n b_n|$ 收敛
D. 当 $\sum_{n=1}^{\infty} |b_n|$ 发散时，$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n b_n|$ 发散
题目解答
答案
C. 当 $\sum_{n=1}^{\infty} |b_n|$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n b_n|$ 收敛
解析
步骤 1：分析选项A
若 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 收敛，取 $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$，$b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，则 $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$ 条件收敛，但不绝对收敛，因此选项A错误。
步骤 2：分析选项B
若 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 发散，取 $a_n = \frac{1}{n^2}$，$b_n = n^2$，则 $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n = \sum_{n=1}^\infty 1$ 发散，但取 $b_n = \frac{1}{n}$ 时，$\sum_{n=1}^\infty a_n b_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$ 收敛，因此选项B错误。
步骤 3：分析选项C
由 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，存在 $N$ 使得 $n > N$ 时 $|a_n| < 1$，故 $|a_n b_n| < |b_n|$。由比较判别法，若 $\sum_{n=1}^\infty |b_n|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^\infty |a_n b_n|$ 收敛，因此选项C正确。
步骤 4：分析选项D
若 $\sum_{n=1}^\infty |b_n|$ 发散，取 $a_n = \frac{1}{n^2}$，$b_n = n$，则 $\sum_{n=1}^\infty |a_n b_n| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ 发散，但取 $b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$ 时，$\sum_{n=1}^\infty |a_n b_n| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{5/2}}$ 收敛，因此选项D错误。
若 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 收敛，取 $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$，$b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，则 $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$ 条件收敛，但不绝对收敛，因此选项A错误。
步骤 2：分析选项B
若 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 发散，取 $a_n = \frac{1}{n^2}$，$b_n = n^2$，则 $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n = \sum_{n=1}^\infty 1$ 发散，但取 $b_n = \frac{1}{n}$ 时，$\sum_{n=1}^\infty a_n b_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$ 收敛，因此选项B错误。
步骤 3：分析选项C
由 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，存在 $N$ 使得 $n > N$ 时 $|a_n| < 1$，故 $|a_n b_n| < |b_n|$。由比较判别法，若 $\sum_{n=1}^\infty |b_n|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^\infty |a_n b_n|$ 收敛，因此选项C正确。
步骤 4：分析选项D
若 $\sum_{n=1}^\infty |b_n|$ 发散，取 $a_n = \frac{1}{n^2}$，$b_n = n$，则 $\sum_{n=1}^\infty |a_n b_n| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ 发散，但取 $b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$ 时，$\sum_{n=1}^\infty |a_n b_n| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{5/2}}$ 收敛，因此选项D错误。