题目

一带电量q的点电荷位于导体球壳中心,壳的内外半径分别为_(1)、(R)_(2)求球壳内一点P电势(取无穷远为零势能点)。_(1)、(R)_(2)

一带电量q的点电荷位于导体球壳中心,壳的内外半径分别为 $R_1、R_2$ 求球壳内一点P电势(取无穷远为零势能点)。

题目解答

答案

点电荷 q 在球壳内产生的电场强度为 $E=\frac{q}{4\pi\epsilon_0r^2}$ （r 为到点电荷的距离）

球壳内一点 P 到点电荷的距离为 r ，则 P 点的电势为：

$\begin{align*} \varphi &= \int_{r}^{\infty} E \cdot dr\\ &= \int_{r}^{\infty} \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2} dr\\ &= -\frac{q}{4\pi\epsilon_0 r} \big|_{r}^{\infty}\\ &= \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r} \end{align*}$

因为点电荷在球壳中心，所以 r 为 P 点到球心的距离。

在球壳内部，电势处处相等，所以球壳内一点 P 的电势为 $\frac{q}{4\pi\epsilon_0r}$ （r 为 P 点到球心的距离） .

解析

步骤 1：确定电场强度
点电荷 q 在球壳内产生的电场强度为 $E=\dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}$，其中 r 为到点电荷的距离，${\varepsilon }_{0}$ 为真空介电常数。

步骤 2：计算电势
球壳内一点 P 到点电荷的距离为 r，则 P 点的电势为：
$\varphi ={\int }_{r}^{\infty }\dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}dr=-\dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}r}$
因为点电荷在球壳中心，所以 r 为 P 点到球心的距离。

步骤 3：确定球壳内电势
在球壳内部，电势处处相等，所以球壳内一点 P 的电势为 $\dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}r}$，其中 r 为 P 点到球心的距离。