题目

设随机变量X的概率密度 (x)=sqrt (dfrac {3)(pi )}(e)^-3(x^2-12x-12)-|||-则D(X)= 。-|||-A. dfrac (1)(6)-|||-B. dfrac (1)(2)-|||-C. dfrac (1)(3)-|||-D. dfrac (1)(9)

$\begin{aligned} &设随机变量X 的概率密度f\left(x\right)=\sqrt{\frac3\pi}e^{-3x^2-12x-12},\\&则D\left(X\right)=. \\&A.\frac{1}{6}\\&B.\frac{1}{2} \\&C.\frac{1}{3}\\&D.\frac{1}{9} \end{aligned}$

题目解答

答案

$\begin{aligned} &先对f(x)=\sqrt {\frac {3}{π}}e^{-3x^{2}-12x - 12}进行变形。 \\&-3x^{2}-12x-12=-3(x^{2}+4x + 4) \\&=-3(x + 2)^{2} \\&所以f(x)=\sqrt {\frac {3}{π}}e^{-3(x + 2)^{2}}。 \\&而正态分布概率密度函数的标准形式为f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}。 \\&对比可得-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}=-3(x + 2)^{2}，则\mu=-2。 \\&又因为-\frac{1}{2\sigma^{2}}=-3，解得\sigma^{2}=\frac{1}{6}。 \\&根据正态分布的性质，方差D(X)=\sigma^{2}，所以D(X)=\frac{1}{6}。 \\&D(X)=\frac{1}{6}，故本题的答案是A选项。 \end{aligned}$

解析

步骤 1：变形概率密度函数
首先，对给定的概率密度函数 $f(x)=\sqrt {\dfrac {3}{\pi }}{e}^{-3{x}^{2}-12x-12}$ 进行变形，以便与正态分布的概率密度函数形式相匹配。我们注意到指数部分可以写成完全平方的形式。
步骤 2：完成平方
将指数部分 $-3{x}^{2}-12x-12$ 写成完全平方形式，即 $-3({x}^{2}+4x+4)$，进一步简化为 $-3{(x+2)}^{2}$。
步骤 3：对比正态分布概率密度函数
将变形后的概率密度函数与正态分布概率密度函数的标准形式 $f(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }{\sigma }^{-}}{e}^{-\dfrac {{(x-\mu )}^{2}}{2{\sigma }^{2}}}$ 对比，可以确定均值 $\mu$ 和方差 ${\sigma }^{2}$。
步骤 4：计算方差
根据对比结果，确定方差 $D(X)={\sigma }^{2}$ 的值。