9.曲线y=(x^3)/(1+x^2)+arctan(1+x^2)的斜渐近线方程为____
题目解答
答案
为了找到曲线 $y = \frac{x^3}{1+x^2} + \arctan(1+x^2)$ 的斜渐近线方程，我们需要确定当 $x \to \infty$ 时，曲线的行为。斜渐近线的形式为 $y = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数。我们可以通过以下步骤找到 $a$ 和 $b$：
-
计算 $a$：
$a = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}$
代入 $y$ 的表达式：
$a = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{1+x^2} + \arctan(1+x^2)}{x}$
分离极限：
$a = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{x(1+x^2)} + \frac{\arctan(1+x^2)}{x} \right)$
简化第一项：
$\frac{x^3}{x(1+x^2)} = \frac{x^2}{1+x^2}$
当 $x \to \infty$ 时， $\frac{x^2}{1+x^2} \to 1$。对于第二项，由于 $\arctan(1+x^2)$ 是一个有界函数（它的值域在 $\frac{\pi}{2}$ 和 $\frac{\pi}{2}$ 之间）， $\frac{\arctan(1+x^2)}{x} \to 0$ 当 $x \to \infty$。因此：
$a = 1 + 0 = 1$ -
计算 $b$：
$b = \lim_{x \to \infty} (y - ax)$
代入 $y$ 的表达式和 $a = 1$：
$b = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{1+x^2} + \arctan(1+x^2) - x \right)$
合并 $\frac{x^3}{1+x^2}$ 和 $-x$：
$\frac{x^3}{1+x^2} - x = \frac{x^3 - x(1+x^2)}{1+x^2} = \frac{x^3 - x - x^3}{1+x^2} = \frac{-x}{1+x^2}$
当 $x \to \infty$ 时， $\frac{-x}{1+x^2} \to 0$。因此：
$b = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{-x}{1+x^2} + \arctan(1+x^2) \right) = 0 + \lim_{x \to \infty} \arctan(1+x^2)$
由于 $\arctan(1+x^2) \to \frac{\pi}{2}$ 当 $x \to \infty$：
$b = \frac{\pi}{2}$
因此，斜渐近线的方程为：
$y = x + \frac{\pi}{2}$
最终答案是：
$\boxed{y = x + \frac{\pi}{2}}$
解析
本题考查曲线斜渐近线方程的求解。解题思路是根据斜渐近线方程的定义，先求出斜率 $a$ 和截距 $b$，再得出斜渐近线方程。斜渐近线方程的一般形式为 $y = ax + b$，其中 $a=\lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}$，$b=\lim_{x \to \infty} (y - ax)$。
- 计算斜率 $a$：
已知 $y=\frac{x^{3}}{1+x^{2}}+\arctan(1+x^{2})$，根据公式 $a = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}$，可得：
$a = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{1+x^2} + \arctan(1+x^2)}{x}$
将上式分离为两项：
$a = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{x(1+x^2)} + \frac{\arctan(1+x^2)}{x} \right)$
化简第一项：
$\frac{x^3}{x(1+x^2)} = \frac{x^2}{1+x^2}$
分子分母同时除以 $x^2$，得到：
$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{1+x^2}=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x^2}+1}=1$
对于第二项，因为 $\arctan(1+x^2)$ 是有界函数，其值域为 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，当 $x \to \infty$ 时，$\frac{\arctan(1+x^2)}{x} \to 0$。
所以 $a = 1 + 0 = 1$。 - 计算截距 $b$：
根据公式 $b = \lim_{x \to \infty} (y - ax)$，将 $y=\frac{x^{3}}{1+x^{2}}+\arctan(1+x^{2})$ 和 $a = 1$ 代入可得：
$b = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{1+x^2} + \arctan(1+x^2) - x \right)$
合并 $\frac{x^3}{1+x^2}$ 和 $-x$：
$\frac{x^3}{1+x^2} - x = \frac{x^3 - x(1+x^2)}{1+x^2} = \frac{x^3 - x - x^3}{1+x^2} = \frac{-x}{1+x^2}$
分子分母同时除以 $x^2$，得到：
$\lim_{x \to \infty} \frac{-x}{1+x^2}=\lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+1}=0$
所以 $b = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{-x}{1+x^2} + \arctan(1+x^2) \right) = 0 + \lim_{x \to \infty} \arctan(1+x^2)$
当 $x \to \infty$ 时，$1 + x^2 \to \infty$，则 $\arctan(1+x^2) \to \frac{\pi}{2}$，即 $b = \frac{\pi}{2}$。 - 得出斜渐近线方程：
将 $a = 1$，$b = \frac{\pi}{2}$ 代入斜渐近线方程 $y = ax + b$，可得斜渐近线方程为 $y = x + \frac{\pi}{2}$。