题目
曲面2x^2+3y^2-z^2=10在点(2,3,-5)处的法线方程为A. 4(x-2)+9(y-3)+5(z+5)=0B. 2(x-2)+3(y-3)+5(z+5)=0C. (x-2)/(4)=(y-3)/(9)=(z+5)/(5)D. (x-2)/(2)=(y-3)/(3)=(z+5)/(5)
曲面$2x^2+3y^2-z^2=10$在点$(2,3,-5)$处的法线方程为
A. 4(x-2)+9(y-3)+5(z+5)=0
B. 2(x-2)+3(y-3)+5(z+5)=0
C. $\frac{x-2}{4}=\frac{y-3}{9}=\frac{z+5}{5}$
D. $\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z+5}{5}$
题目解答
答案
C. $\frac{x-2}{4}=\frac{y-3}{9}=\frac{z+5}{5}$
解析
步骤 1：计算曲面的梯度
曲面由函数 $f(x, y, z) = 2x^2 + 3y^2 - z^2 - 10 = 0$ 给出。曲面的梯度 $\nabla f$ 是一个向量，其分量是 $f$ 的偏导数： \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) = (4x, 6y, -2z). \]
步骤 2：在点 $(2, 3, -5)$ 处评估梯度
将 $x = 2$，$y = 3$，和 $z = -5$ 代入梯度： \[ \nabla f(2, 3, -5) = (4 \cdot 2, 6 \cdot 3, -2 \cdot -5) = (8, 18, 10). \] 这个向量 $(8, 18, 10)$ 是曲面在点 $(2, 3, -5)$ 处的法向量。
步骤 3：写出法线的方程
通过点 $(x_0, y_0, z_0)$ 且方向向量为 $(a, b, c)$ 的直线的参数形式由下式给出： \[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}. \] 这里，点是 $(2, 3, -5)$ 且方向向量是 $(8, 18, 10)$。因此，法线的方程是： \[ \frac{x - 2}{8} = \frac{y - 3}{18} = \frac{z + 5}{10}. \] 我们可以通过将分子和分母除以2来简化这个方程： \[ \frac{x - 2}{4} = \frac{y - 3}{9} = \frac{z + 5}{5}. \]
曲面由函数 $f(x, y, z) = 2x^2 + 3y^2 - z^2 - 10 = 0$ 给出。曲面的梯度 $\nabla f$ 是一个向量，其分量是 $f$ 的偏导数： \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) = (4x, 6y, -2z). \]
步骤 2：在点 $(2, 3, -5)$ 处评估梯度
将 $x = 2$，$y = 3$，和 $z = -5$ 代入梯度： \[ \nabla f(2, 3, -5) = (4 \cdot 2, 6 \cdot 3, -2 \cdot -5) = (8, 18, 10). \] 这个向量 $(8, 18, 10)$ 是曲面在点 $(2, 3, -5)$ 处的法向量。
步骤 3：写出法线的方程
通过点 $(x_0, y_0, z_0)$ 且方向向量为 $(a, b, c)$ 的直线的参数形式由下式给出： \[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}. \] 这里，点是 $(2, 3, -5)$ 且方向向量是 $(8, 18, 10)$。因此，法线的方程是： \[ \frac{x - 2}{8} = \frac{y - 3}{18} = \frac{z + 5}{10}. \] 我们可以通过将分子和分母除以2来简化这个方程： \[ \frac{x - 2}{4} = \frac{y - 3}{9} = \frac{z + 5}{5}. \]