题目

4. 已知α_(1),α_(2),α_(3)是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则（）也是该方程组的基础解系：A. α_(1)+2α_(2),2α_(1)-3α_(2)+α_(3);B. α_(1)+α_(3),4α_(1)+α_(2)-α_(3),α_(2)+α_(3),3α_(1)-2α_(2)+5α_(3);C. α_(1)+2α_(2),2α_(1)+α_(3),4α_(2)-α_(3);D. α_(3)-α_(2)-α_(1),α_(1)+α_(2)+α_(3),-2α_(3).

4. 已知$α_{1},α_{2},α_{3}$是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则（）也是该方程组的基础解系：

A. $α_{1}+2α_{2},2α_{1}-3α_{2}+α_{3}$;

B. $α_{1}+α_{3},4α_{1}+α_{2}-α_{3},α_{2}+α_{3},3α_{1}-2α_{2}+5α_{3}$;

C. $α_{1}+2α_{2},2α_{1}+α_{3},4α_{2}-α_{3}$;

D. $α_{3}-α_{2}-α_{1},α_{1}+α_{2}+α_{3},-2α_{3}$.

题目解答

答案

D. $α_{3}-α_{2}-α_{1},α_{1}+α_{2}+α_{3},-2α_{3}$.

解析

基础解系的判定条件是解决本题的核心：

  1. 向量个数必须等于解空间的维数（本题中为3）；
  2. 向量组线性无关。

选项分析的关键在于：

  • 选项A和选项B因向量个数不符合直接排除；
  • 选项C的向量组线性相关（可通过行列式为零判断）；
  • 选项D的向量组线性无关（行列式非零），且个数正确。

选项分析

选项A

  • 含2个向量，不满足向量个数为3的条件，直接排除。

选项B

  • 含4个向量，超过解空间维数3，必然线性相关，排除。

选项C

  • 含3个向量，但需验证线性无关性：
    • 构造矩阵$M = [\alpha_1+2\alpha_2, 2\alpha_1+\alpha_3, 4\alpha_2-\alpha_3]$，其行列式为0（具体计算略），说明线性相关，排除。

选项D

  • 含3个向量，验证线性无关性：
    • 构造矩阵$M = [\alpha_3-\alpha_2-\alpha_1, \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, -2\alpha_3]$，计算行列式：
      $\begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$
    • 行列式非零，说明线性无关，满足条件。