44.求由直线 _(1):dfrac (x-1)(1)=dfrac (y-1)(3)=dfrac (z-1)(1) 和直线L2: ) x=1+t y=1+2t z=1+3t . 所确定的平面方程.

步骤 1：确定直线 ${L}_{1}$ 和 ${L}_{2}$ 的方向向量
直线 ${L}_{1}$ 的方向向量为 $\overrightarrow{{n}_{1}}=(1,3,1)$，因为直线 ${L}_{1}$ 的方程为 $\dfrac {x-1}{1}=\dfrac {y-1}{3}=\dfrac {z-1}{1}$，所以方向向量为 $(1,3,1)$。
直线 ${L}_{2}$ 的方向向量为 $\overrightarrow{{n}_{2}}=(1,2,3)$，因为直线 ${L}_{2}$ 的方程为 $\left \{ \begin{matrix} x=1+t\\ y=1+2t\\ z=1+3t\end{matrix} \right.$，所以方向向量为 $(1,2,3)$。

步骤 2：求平面的法向量
平面的法向量 $\overrightarrow{n}$ 可以通过两个方向向量的叉乘得到，即 $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{{n}_{1}}\times \overrightarrow{{n}_{2}}$。
计算叉乘：
$$
\overrightarrow{n}=\overrightarrow{{n}_{1}}\times \overrightarrow{{n}_{2}}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}=(3\times 3-1\times 2)\mathbf{i}-(1\times 3-1\times 1)\mathbf{j}+(1\times 2-1\times 3)\mathbf{k}=(7,-2,-1)
$$
所以，平面的法向量为 $\overrightarrow{n}=(7,-2,-1)$。

步骤 3：确定平面方程
平面方程的一般形式为 $Ax+By+Cz+D=0$，其中 $(A,B,C)$ 是平面的法向量，$D$ 是常数项。因为平面过点 $(1,1,1)$，所以可以将点 $(1,1,1)$ 代入平面方程求解 $D$。
代入点 $(1,1,1)$，得到：
$$
7\times 1-2\times 1-1\times 1+D=0
$$
解得 $D=-4$。
所以，平面方程为 $7x-2y-z-4=0$。