题目

函数=x^3+y^3+z^3在曲线=x^3+y^3+z^3上点=x^3+y^3+z^3处沿曲线在该点的切线正方向的方向导数为（）=x^3+y^3+z^3

函数 $u=x^3+y^3+z^3$ 在曲线 $x=t,y=t^3,z=t^4$ 上点 $(1,1,1)$ 处沿曲线在该点的切线正方向的方向导数为（）

$A.\frac{5\sqrt{26}}{13}\ \ \ B.\frac{12\sqrt{26}}{13}\ \ \ C.\frac{16\sqrt{26}}{13}\ \ \ D.\frac{20\sqrt{26}}{13}$

题目解答

答案

解：函数 $u=x^3+y^3+z^3$ 对 $x,y,z$ 的偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2,\frac{\partial u}{\partial y}=3y^2,\frac{\partial u}{\partial z}=3z^2$ ，并代入 $\left(1,1,1\right)$ 得到 $\frac{\partial u}{\partial x}=3,\frac{\partial u}{\partial y}=3,\frac{\partial u}{\partial z}=3$ $x=t,y=t^3,z=t^4$ 对 $t$ 求导得 $x'=1,y'=3t^2,z'=4t^3$ ，代入 $\left(1,1,1\right)$ 得到 $x'=1,y'=3,z'=4$ $e_l=\frac{l}{\left|l\right|}=\left(\frac{1}{\sqrt{26}},\frac{3}{\sqrt{26}},\frac{4}{\sqrt{26}}\right)$

代入方向导数公式 $\frac{\partial u}{\partial l}|_M=\frac{\partial u}{\partial x}|_M\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}|_M\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}|_M\cos\gamma$

得方向导数为 $\frac{\partial u}{\partial l}|_{\left(1,1,1\right)}=3\times\frac{1}{\sqrt{26}}+3\times\frac{3}{\sqrt{26}}+3\times\frac{4}{\sqrt{26}}=\frac{12\sqrt{26}}{13}$

答案：B

函数=x^3+y^3+z^3在曲线=x^3+y^3+z^3上点=x^3+y^3+z^3处沿曲线在该点的切线正方向的方向导数为（ ）=x^3+y^3+z^3

题目解答

答案

函数=x^3+y^3+z^3在曲线=x^3+y^3+z^3上点=x^3+y^3+z^3处沿曲线在该点的切线正方向的方向导数为（）=x^3+y^3+z^3