题目
2）(y^2-3x^2)dy+2xydx=0；
2）$(y^{2}-3x^{2})dy+2xydx=0$；
题目解答
答案
令 $y = vx$，则 $dy = vdx + xdv$。代入原方程得：
\[
(v^2x^2 - 3x^2)(vdx + xdv) + 2x \cdot vx \cdot dx = 0
\]
化简并除以 $x^2$：
\[
(v^2 - 3)(vdx + xdv) + 2vdx = 0
\]
整理得：
\[
(v^3 - v)dx + (v^2 - 3)xdv = 0
\]
分离变量：
\[
\frac{dx}{x} = \frac{3 - v^2}{v(v^2 - 1)}dv
\]
部分分式分解：
\[
\frac{3 - v^2}{v(v^2 - 1)} = \frac{3}{v} - \frac{2v}{v^2 - 1}
\]
积分得：
\[
\ln |x| = 3 \ln |v| - \ln |v^2 - 1| + C_1
\]
化简：
\[
\ln \left| \frac{v^3}{x(v^2 - 1)} \right| = C_1
\]
解得：
\[
\frac{v^3}{x(v^2 - 1)} = C_2
\]
代回 $v = \frac{y}{x}$：
\[
\boxed{y^2 - x^2 = C y^3}
\]
其中 $C$ 为任意常数。
解析
考查要点：本题主要考查齐次微分方程的解法，通过变量代换将方程转化为可分离变量的形式，进而求解通解。
解题核心思路：
- 识别齐次方程：观察方程形式，判断是否为齐次方程（即是否可表示为$y/x$的函数）。
- 变量代换：令$y = vx$，将方程转化为关于$v$和$x$的可分离变量方程。
- 分离变量积分：通过部分分式分解简化积分过程，最终回代得到原方程的通解。
破题关键点：
- 正确代换：通过$y = vx$代换，将原方程中的$y$和$dy$用$v$和$x$表示。
- 分式分解：对复杂分式进行部分分式分解，便于积分。
- 回代化简：将变量$v$替换回$y/x$，整理得到最终解。
变量代换：令$y = vx$，则$dy = vdx + xdv$。代入原方程：
$(v^2x^2 - 3x^2)(vdx + xdv) + 2x \cdot vx \cdot dx = 0$
化简方程：
- 提取公因子$x^2$，两边除以$x^2$：
$(v^2 - 3)(vdx + xdv) + 2vdx = 0$ - 展开并整理同类项：
$(v^3 - v)dx + (v^2 - 3)xdv = 0$
分离变量：
将方程改写为$\frac{dx}{x} = \frac{3 - v^2}{v(v^2 - 1)}dv$，并对右侧分式分解：
$\frac{3 - v^2}{v(v^2 - 1)} = \frac{-3}{v} + \frac{2v}{v^2 - 1}$
积分求解：
- 对$x$和$v$分别积分：
$\ln |x| = -3 \ln |v| + \ln |v^2 - 1| + C$ - 整理得：
$\ln \left| \frac{v^3}{x(v^2 - 1)} \right| = C$ - 指数化后回代$v = \frac{y}{x}$：
$\frac{y^3}{x(y^2 - x^2)} = C \quad \Rightarrow \quad y^2 - x^2 = C y^3$