例 9-8 用氦氖激光照明迈克耳逊干涉仪,通过望远镜看到视场内有20个暗环,且中心-|||-是暗斑。然后移动反射镜M1,看到环条纹收缩,并且一一在中心消失了20个环,此时视场-|||-内只有10个暗环,试求:-|||-(1)M1移动前中心暗斑的干涉级次(设干涉仪分光板G1不镀膜)。-|||-(2)M1移动后第5个暗环的角半径。-|||-[提示]本题知识点:迈克耳逊干涉仪。解题时应注意:①当分光镜不镀膜时,两光路-|||-之间有半波损失;当分光镜镀膜时,两路光的光程差非0、也非 λ/2, 应根据膜层厚度和膜-|||-层折射率的影响而定,但接近于0;②视场范围有限,视场中看到的不是全部条纹;③两个-|||-变化过程中,不变量是视场大小,即视场最边缘条纹的角半径不变;④公式中亮条纹均为整-|||-数级次,暗条纹均与亮条纹级次相差0.5。

步骤 1：确定干涉级次
在迈克耳逊干涉仪中，当分光镜不镀膜时，两光路之间有半波损失。因此，中心暗斑的干涉级次为 $m_0 = 2n h_1 + \frac{\lambda}{2}$，其中 $n$ 是空气的折射率，$h_1$ 是移动前的光程差，$\lambda$ 是激光的波长。由于视场内有20个暗环，中心是暗斑，所以中心暗斑的干涉级次为 $m_0 = 20.5$。

步骤 2：计算移动后的光程差
当移动反射镜M1后，视场内只有10个暗环，中心仍然是暗斑。因此，移动后的干涉级次为 $m_1 = 10.5$。由于视场最边缘条纹的角半径不变，所以视场最边缘条纹的干涉级次不变。因此，视场最边缘条纹的干涉级次为 $m_1 = 20.5$。因此，移动后的光程差为 $h_2 = \frac{m_1 - \frac{\lambda}{2}}{2n}$。

步骤 3：计算移动的距离
移动的距离为 $\Delta h = h_1 - h_2$。由于视场最边缘条纹的干涉级次不变，所以视场最边缘条纹的干涉级次为 $m_1 = 20.5$。因此，移动的距离为 $\Delta h = \frac{m_1 - \frac{\lambda}{2}}{2n} - \frac{m_0 - \frac{\lambda}{2}}{2n} = \frac{20.5 - 10.5}{2n} = \frac{10}{2n} = 5\lambda$。

步骤 4：计算第5个暗环的角半径
第5个暗环的干涉级次为 $m_5 = 5.5$。因此，第5个暗环的角半径为 $\theta_5 = \frac{1}{n} \sqrt{\frac{n\lambda}{h_2}} \sqrt{m_5 - 1 + q}$，其中 $q = 0.5$。因此，第5个暗环的角半径为 $\theta_5 = \frac{1}{n} \sqrt{\frac{n\lambda}{h_2}} \sqrt{5.5 - 1 + 0.5} = \frac{1}{n} \sqrt{\frac{n\lambda}{h_2}} \sqrt{5} = \frac{1}{n} \sqrt{\frac{n\lambda}{10\lambda}} \sqrt{5} = \frac{1}{n} \sqrt{\frac{1}{10}} \sqrt{5} = \frac{1}{n} \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{n} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{n} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2n}$。